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Équations différentielles


Si y est fonction de x, et non est un entier positif, donc une relation d'égalité (non réductible à une identité) impliquant x, y, y ', y ",…, y(n) ça s'appelle un équation différentielle d'ordre n.

L'équation différentielle est une équation qui présente des dérivées ou des différentiels d'une fonction inconnue (l'inconnue de l'équation).

Classification

  • Équation différentielle ordinaire (ODE): implique les dérivées d'une seule fonction variable indépendante.
  • Équation différentielle partielle (EDP): implique des dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

Commander: est l'ordre de la dérivée d'ordre le plus élevé de la fonction inconnue qui apparaît dans l'équation.

Des exemples

y '= 2x

avoir l'ordre 1 et le grade 1
y "+ x2(y ')3 - 40y = 0 avoir l'ordre 2 et le grade 3

y "'+ x2y3 = x.tanx

avoir l'ordre 3 et le grade 3

Résolution

La solution d'une équation différentielle est une fonction qui ne contient ni dérivés ni différentiels et satisfait l'équation donnée (c'est-à-dire la fonction qui, substituée dans l'équation donnée, la transforme en identité).

Ex: équation différentielle ordinaire: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solution générale)

Un solution particulière peut être obtenu à partir du général à travers, par exemple, la condition y (-1) = 3

(condition initiale)

3 = -1-2-1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solution privée)

Remarque: Dans les deux cas, la preuve peut être faite en dérivant la solution et en revenant ainsi à l'équation donnée.

Les solutions se déclinent en:

Solution générale - présente n constantes indépendantes les unes des autres (n = ordre ODE). Ces constantes, selon le cas, peuvent être écrites C, 2C, C2lnC

Solution particulière - Obtenu du général dans des conditions données (appelées conditions initiales ou conditions aux limites).

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