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Symétrie, anti-symétrie et rupture de symétrie I


Dans leur interprétation des modèles de l'univers, les êtres vivants doivent être comptés. Elle n'est pas unique à l'Homo sapiens sapiens (Hoss), mais cette espèce est la seule connue à réaliser qu'il existe des possibilités infinies pour les choses les plus simples.

Les nombres naturels N sont le modèle du plus simple des dénombrements:

N = {0, 1, 2, 3,…}.

Le processus de comptage simple implique deux opérations avec les nombres naturels, à savoir l'ajout de "+" et la multiplication de "×" Autrement dit, le système de comptage de base se compose de deux systèmes. Le système additif a l'élément distinctif «0» (zéro) et le système multiplicatif a l'élément distinctif «1» (un).

On dit que áN, +, 0ñ et áN, ×, 1ñ sont monoïdes, c'est-à-dire que les deux ont un élément neutre pour leur fonctionnement.

le + 0 = le = 0 + le,

le ×1 = le = 1× le

pour tout élément le en N.

L'opération d'addition provient naturellement des dénombrements effectués par les espèces de Hoss, mais l'opération de multiplication est beaucoup moins naturelle. Pour simplifier l'ajout de termes répétés, c'est-à-dire comme mesure d'économie de pensée, de temps, d'espace, etc., les spécimens de Hoss ont inventé la multiplication. On voit donc qu'il y a une asymétrie entre l'addition et la multiplication à son origine même. Cependant, les monoïdes additifs et multiplicatifs áN, +, 0ñ et áN, ×, 1ñ ont quelques similitudes.

Par exemple, les deux sont des semi-groupes, c'est-à-dire qu'ils satisfont tous deux à la propriété associative:

le + (b + c) = (le + b) + c,

le × (b × c) = (le × b) × c

pour tous les éléments le, b et c de N.

Au passage, on observe que les opérations d'addition et de multiplication coexistent bien, c'est-à-dire que la multiplication se distribue naturellement par rapport à la multiplication:

le × (b + c) = le × b + le × c

Il est donc naturel de se demander si ces deux semi-groupes ne pourraient pas se réunir pour former un seul et plus grand semi-groupe.

Une autre question qui se pose immédiatement est: existe-t-il d'autres semi-groupes naturels dans l'univers?

Si un spécimen de Hoss voulait faire cette recherche, que pouvait-il faire?

Il est difficile de trouver un moyen d'investigation de manière abstraite. Suivons donc l'un des chemins possibles qui est le chemin historique.

Les mathématiciens de Hoss n'ont pas pu résoudre l'équation x + le = 0 dans le semi-groupe áN, +, 0ñ. Ils ont constaté que le problème était le manque de symétrie dans ce semi-groupe. Il peut être observé en représentant géométriquement les nombres naturels sur une ligne. Les points sont tous d'un côté seulement à partir de zéro. En d'autres termes, une ligne semi-droite peut contenir tous les nombres naturels et donc une ligne droite a une moitié superflue.

Une idée a surgi de façon inattendue pour continuer à enquêter sur l'existence d'autres semi-groupes dans l'univers. On peut essayer de résoudre des équations et représenter géométriquement les nouveaux ensembles de nombres obtenus comme un moyen de découvrir plus de semi-groupes dans l'univers.

C'est ainsi que les soi-disant spécimens mathématiques de Hoss ont créé les négatifs des nombres naturels. La représentation géométrique des nombres naturels est devenue symétrique et chaque équation du type x + le = 0 pourrait être résolu par des valeurs naturelles négatives.

Tout naturelle"A maintenant un négatif" - le”Et donc nous avons:

x + le = 0 Þ (x + le) + (-le) = 0 + (-le) Þ x + (le + (-le)) = -le Þ x + 0 = -le Þ x = -le.

Le nouveau semi-groupe est z, +, 0ñ, où Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} était appelé un ensemble d'entiers. La lettre Z a été empruntée au mot allemand "zahlen".

L'esprit de l'espèce Hoss fonctionne de manière non linéaire et extrêmement dynamique. Il est immédiat de se demander si le même phénomène ne se produit pas avec le semi-groupe multiplicatif áN, ×, 1er. Autrement dit, l'équation analogue x×le = 1 n'a pas non plus de solution sauf dans le cas le = 1. Dès que la question se pose plusieurs problèmes naturels et intéressants.

Pour étendre le semi-groupe multiplicatif áN, ×, 1ñ à AZ, ×Les mathématiciens devaient résoudre les problèmes intéressants suivants.

(a) Comment multiplier les entiers négatifs? La multiplication se poursuivrait-elle en fonction de l'économie de la pensée, du temps et de l'espace? Par exemple, un négatif additionné cinq fois avec lui-même produirait-il une somme négative, donc un nombre positif multiplié par un négatif produirait un produit négatif?

(b) Comment les deux semi-groupes pourraient-ils coexister dans une même structure, disons AZ, +, 0, ×, 1ñ?

(c) Vaut-il encore la peine de posséder une propriété associative?

La créativité des espèces de Hoss a inventé une solution simple: tout comme les semi-groupes áN, +, 0ñ et áN, ×, 1ñ pourrait naturellement coexister grâce à la propriété distributive, la nouvelle structure AZ, +, 0, ×1ñ n'aurait aucun problème à admettre la même règle, et la multiplication continuerait à économiser la pensée, le temps et l'espace.

Cependant, il y avait un prix à payer. Par exemple, considérons l'égalité (1 - 1) × (1 - 1) = 0. Si c'est pour les propriétés associatives et distributives, alors nous avons:

(1 - 1) × (1 - 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(-1) + (-1) ×(1) + (-1)×(-1) = 0 Þ 1 - 1 - 1 + (-1)×(-1) = 0

Þ - 1 + (-1)×(-1) = 0.

On voit qu'un prix à payer pour réaliser le désir d'élargir des semi-groupes naturels et de résoudre des équations est d'admettre que (-1)×(-1) doit être un entier exactement opposé à -1.

Maintenant (-1)×(-1) doit être égal à 1. Le solde de la dette à payer est l'admission que

(-le)×(-b) = le×b,

comme on peut le voir dans le même raisonnement ci-dessus. Par conséquent, "les temps négatifs doivent être positifs".

Chaque nouveau-né mérite un nom. La nouvelle structure z, +, 0, ×, 1, distributivañ, qui accueille dans le même environnement les semi-groupes naturels additifs et multiplicatifs, a reçu le nom d'anneau. Bien que beaucoup plus symétrique que le semi-groupe naturel, il ne suffit pas de résoudre des équations. x×le = b.

La curiosité infinie de Hoss a ensuite inventé les entiers inverses: chaque entier lesauf que zéro a l'inverse multiplicatif le-1. Ainsi, un anneau plus large a émergé: áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ, l'anneau des fractions.

La lettre Q vient du mot quotient, car l'expression b×le-1 a été interprété comme «b divisé par le», C'est-à-dire comme la fraction b/le.

Donc, chaque équation x×le = bavec le ¹ 0, a maintenant une solution dans l'anneau áQ, +, 0, ×, 1, distributif:

x×le = b Þ (x×le)×le-1 = Þ x×(le×le-1) = b×le-1 Þ x×1 = b×le-1 Þ x = b×le-1.

Les spécimens mathématiques disent souvent que le semi-groupe az, +, 0ñ est un groupe parce que tous le a additif inverse -a, ou en face de le. De même, le semi-groupe áQ, +, 0ñ est également un groupe.

Quant au semi-groupe áQ, ×, 1ñ, on ne peut pas en dire autant car 0 n'a pas d'inverse multiplicatif. Équation 0×le = 1 n'a pas de solution dans les univers où 0 ¹ 1, car 0×le = 0 pour tous le.

Cette asymétrie ne peut donc pas être corrigée car 0 ne peut pas avoir d'inverse multiplicatif, bien que son inverse additif, c'est-à-dire son contraire, soit lui-même.

La question maintenant, bien sûr, est: quelle est la capacité de l'anneau des fractions q, +, 0, ×, 1, distributivañ résoudre des équations, car leur représentation géométrique est symétrique et remplit la ligne beaucoup mieux?

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