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4.7 : Le théorème de la valeur moyenne


Le Théorème de la valeur moyenne est l'un des théorèmes les plus importants du calcul. Tout d'abord, commençons par un cas particulier du théorème de la valeur moyenne, appelé théorème de Rolle.

Théorème de Rolle

Informellement, Le théorème de Rolle déclare que si les sorties d'une fonction différentiable (f) sont égales aux extrémités d'un intervalle, alors il doit y avoir un point intérieur (c) où (f'(c)=0). La figure illustre ce théorème.

Figure (PageIndex{1}) : Si une fonction dérivable f satisfait f(a)=f(b), alors sa dérivée doit être nulle en un ou plusieurs points entre a et b.

Théorème de Rolle

Soit (f) une fonction continue sur l'intervalle fermé ([a,b]) et dérivable sur l'intervalle ouvert ((a,b)) telle que (f(a)=f(b )). Il existe alors au moins un (c∈(a,b)) tel que (f'(c)=0.)

Preuve

Soit (k=f(a)=f(b).) On considère trois cas :

  1. (f(x)=k) pour tout (x∈(a,b).)
  2. Il existe (x∈(a,b)) tel que (f(x)>k.)
  3. Il existe (x∈(a,b)) tel que (f(x)

Cas 1 : Si (f(x)=0) pour tout (x∈(a,b)), alors (f'(x)=0) pour tout (x∈(a,b ).)

Cas 2 : Puisque (f) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné ([a,b]), par le théorème des valeurs extrêmes, il a un maximum absolu. De plus, puisqu'il existe un point (x∈(a,b)) tel que (f(x)>k), le maximum absolu est supérieur à (k). Par conséquent, le maximum absolu ne se produit à aucun des deux points de terminaison. En conséquence, le maximum absolu doit se produire en un point intérieur (c∈(a,b)). Parce que (f) a un maximum en un point intérieur (c), et (f) est dérivable en (c), par le théorème de Fermat, (f'(c)=0.)

Cas 3 : Le cas où il existe un point (x∈(a,b)) tel que (f(x)

Un point important du théorème de Rolle est que la différentiabilité de la fonction (f) est critique. Si f n'est pas dérivable, même en un seul point, le résultat peut ne pas être valable. Par exemple, la fonction f(x)=|x|−1 est continue sur ([−1,1]) et (f(−1)=0=f(1)), mais (f '(c)≠0) pour tout (c∈(−1,1)) comme le montre la figure suivante.

Figure (PageIndex{2}) : Comme (f(x)=|x|−1) n'est pas dérivable en (x=0), les conditions du théorème de Rolle ne sont pas satisfaites. En fait, la conclusion ne tient pas ici ; il n'y a pas de (c∈(−1,1)) tel que (f'(c)=0.)

Considérons maintenant les fonctions qui satisfont aux conditions du théorème de Rolle et calculons explicitement les points c où (f'(c)=0.)

Exemple (PageIndex{1}) : Utilisation du théorème de Rolle

Pour chacune des fonctions suivantes, vérifiez que la fonction satisfait aux critères énoncés dans le théorème de Rolle et trouvez toutes les valeurs (c) dans l'intervalle donné où (f'(c)=0.)

  1. (f(x)=x^2+2x) sur ([−2,0])
  2. (f(x)=x^3−4x) sur ([−2,2])

Solution

Comme (f) est un polynôme, il est continu et dérivable partout. De plus, (f(−2)=0=f(0).) Par conséquent, (f) satisfait les critères du théorème de Rolle. On en conclut qu'il existe au moins une valeur (c∈(−2,0)) telle que (f'(c)=0). Puisque (f'(x)=2x+2=2(x+1),) on voit que (f'(c)=2(c+1)=0) implique (c=−1 ) comme le montre le graphique suivant.

Figure (PageIndex{3}) : Cette fonction est continue et dérivable sur [−2,0], f'(c)=0 lorsque c=−1.

b. Comme dans la partie a. (f) est un polynôme et est donc continu et dérivable partout. Aussi, (f(−2)=0=f(2).) Ceci dit, (f) satisfait les critères du théorème de Rolle. En différenciant, nous trouvons que (f'(x)=3x^2−4.) Donc, (f'(c)=0) quand (x=±frac{2}{sqrt{3 }}). Les deux points sont dans l'intervalle ([−2,2]), et, par conséquent, les deux points satisfont la conclusion du théorème de Rolle comme le montre le graphique suivant.

Figure (PageIndex{4}) : Pour ce polynôme sur ([−2,2], f'(c)=0) à (x=±2/sqrt{3}).

Exercice (PageIndex{1})

Vérifier que la fonction (f(x)=2x^2−8x+6) définie sur l'intervalle ([1,3]) satisfait les conditions du théorème de Rolle. Trouver tous les points (c) garantis par le théorème de Rolle.

Indice

Trouvez toutes les valeurs (c), où (f'(c)=0).

Réponse

(c=2)

Le théorème de la valeur moyenne et sa signification

Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de la valeur moyenne. Dans le théorème de Rolle, nous considérons des fonctions dérivables (f) qui sont nulles aux extrémités. Le théorème de la valeur moyenne généralise le théorème de Rolle en considérant des fonctions qui ne sont pas nécessairement nulles aux extrémités. Par conséquent, nous pouvons voir le théorème de la valeur moyenne comme une version inclinée du théorème de Rolle (Figure). Le théorème de la valeur moyenne stipule que si (f) est continue sur l'intervalle fermé ([a,b]) et dérivable sur l'intervalle ouvert ((a,b)), alors il existe un point ( c∈(a,b)) tel que la tangente au graphe de (f) en (c) soit parallèle à la sécante reliant ((a,f(a))) et ((b,f(b)).)

Figure (PageIndex{5}) : Le théorème de la valeur moyenne dit que pour une fonction qui remplit ses conditions, à un moment donné, la ligne tangente a la même pente que la ligne sécante entre les extrémités. Pour cette fonction, il existe deux valeurs (c_1) et (c_2) telles que la tangente à (f) en (c_1) et (c_2) a la même pente que la sécante .

Théorème de la valeur moyenne

Soit (f) continu sur l'intervalle fermé ([a,b]) et dérivable sur l'intervalle ouvert ((a,b)). Alors, il existe au moins un point (c∈(a,b)) tel que

[f'(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}]

Preuve

La preuve découle du théorème de Rolle en introduisant une fonction appropriée qui satisfait les critères du théorème de Rolle. Considérons la droite reliant ((a,f(a))) et ((b,f(b)).) Puisque la pente de cette droite est

[frac{f(b)−f(a)}{b−a}]

et la ligne passe par le point ((a,f(a)),) l'équation de cette ligne peut être écrite comme

[y=frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x−a)+f(a).]

Soit (g(x)) la différence verticale entre le point ((x,f(x))) et le point ((x,y)) sur cette ligne. Donc,

[g(x)=f(x)−[frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x−a)+f(a)].]

Figure (PageIndex{6}) : La valeur g(x) est la différence verticale entre le point (x,f(x)) et le point (x,y) sur la ligne sécante reliant (a,f(a)) et (b,f(b) ).

Puisque le graphe de (f) coupe la ligne sécante lorsque (x=a) et (x=b), on voit que (g(a)=0=g(b)). Puisque (f) est une fonction différentiable sur ((a,b)), (g) est aussi une fonction différentiable sur ((a,b)). De plus, puisque (f) est continue sur ([a,b], g) est aussi continue sur ([a,b]). Par conséquent, (g) satisfait les critères du théorème de Rolle. Par conséquent, il existe un point (c∈(a,b)) tel que (g'(c)=0.) Puisque

[g'(x)=f'(x)−frac{f(b)−f(a)}{b−a},]

on voit ça

[g'(c)=f'(c)−frac{f(b)−f(a)}{b−a}.]

Puisque (g'(c)=0,) on conclut que

[f'(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}.]

Dans l'exemple suivant, nous montrons comment le théorème de la valeur moyenne peut être appliqué à la fonction (f(x)=sqrt{x}) sur l'intervalle ([0,9]). La méthode est la même pour les autres fonctions, bien qu'avec parfois des conséquences plus intéressantes.

Exemple (PageIndex{2}) : vérifier que le théorème de la valeur moyenne s'applique

Pour (f(x)=sqrt{x}) sur l'intervalle ([0,9]), montrer que (f) satisfait l'hypothèse du théorème de la valeur moyenne, et donc qu'il existe au moins une valeur (c∈(0,9)) telle que (f′(c)) soit égale à la pente de la droite reliant ((0,f(0))) et ((9 ,f(9))). Trouvez ces valeurs (c) garanties par le théorème de la valeur moyenne.

Solution

On sait que (f(x)=sqrt{x}) est continue sur ([0,9]) et dérivable sur ((0,9).) Donc, (f) satisfait les hypothèses du théorème de la valeur moyenne, et il doit exister au moins une valeur (c∈(0,9)) telle que (f′(c)) soit égale à la pente de la droite reliant (( 0,f(0))) et ((9,f(9))) (Figure). Pour déterminer quelle(s) valeur(s) de (c) sont garanties, calculez d'abord la dérivée de (f). La dérivée (f′(x)=frac{1}{(2sqrt{x})}). La pente de la droite reliant ((0,f(0))) et ((9,f(9))) est donnée par

[frac{f(9)−f(0)}{9−0}=frac{sqrt{9}−sqrt{0}}{9−0}=frac{3}{9} =frac{1}{3}.]

On cherche (c) tel que (f′(c)=frac{1}{3}). C'est-à-dire que nous voulons trouver (c) tel que

[frac{1}{2sqrt{c}}=frac{1}{3}.]

En résolvant cette équation pour (c), on obtient (c=frac{9}{4}). À ce stade, la pente de la ligne tangente est égale à la pente de la ligne joignant les extrémités.

Figure (PageIndex{7}) : La pente de la ligne tangente à c=9/4 est la même que la pente du segment de ligne reliant (0,0) et (9,3).

Une application qui permet d'illustrer le théorème de la valeur moyenne implique la vitesse. Par exemple, supposons que nous conduisions une voiture pendant 1 h sur une route droite avec une vitesse moyenne de 45 mph. Soit (s(t)) et (v(t)) la position et la vitesse de la voiture, respectivement, pour (0≤t≤1) h. En supposant que la fonction de position (s(t)) est dérivable, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur moyenne pour conclure qu'à un moment donné (c∈(0,1)), la vitesse de la voiture était exactement

[v(c)=s′(c)=frac{s(1)−s(0)}{1−0}=45mph.]

Exemple (PageIndex{3}) : Théorème de la valeur moyenne et vitesse

Si une pierre est lâchée d'une hauteur de 100 pieds, sa position (t) secondes après sa chute jusqu'à ce qu'elle touche le sol est donnée par la fonction (s(t)=−16t^2+100.)

  1. Déterminez combien de temps il faut avant que la roche touche le sol.
  2. Trouvez la vitesse moyenne (v_{avg}) de la roche lorsque la roche est relâchée et que la roche touche le sol.
  3. Trouver le temps (t) garanti par le théorème de la valeur moyenne lorsque la vitesse instantanée de la roche est (v_{avg}.)

Solution

une. Lorsque le rocher touche le sol, sa position est (s(t)=0.) En résolvant l'équation (−16t^2+100=0) pour (t), on trouve que (t= ±frac{5}{2}sec). Puisque nous ne considérons que (t≥0), la balle touchera le sol (frac{5}{2}) sec après avoir été lâchée.

b. La vitesse moyenne est donnée par

(v_{moy}=frac{s(5/2)−s(0)}{5/2−0}=frac{1−100}{5/2}=−40ft/sec.)

c. La vitesse instantanée est donnée par la dérivée de la fonction de position. Par conséquent, nous devons trouver un temps (t) tel que (v(t)=s′(t)=vavg=−40ft/sec.) Puisque s(t) est continu sur l'intervalle ([ 0,5/2]) et dérivable sur l'intervalle ((0,5/2),) par le théorème de la valeur moyenne, il est garanti qu'il y a un point (c∈(0,5/2) ) tel que

(s′(c)=frac{s(5/2)−s(0)}{5/2−0}=−40.)

En prenant la dérivée de la fonction de position (s(t)), on trouve que (s′(t)=−32t.) Par conséquent, l'équation se réduit à (s′(c)=−32c=− 40.) En résolvant cette équation pour (c), on a (c=frac{5}{4}). Par conséquent, (frac{5}{4}) sec après la chute de la roche, la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne de la roche pendant sa chute libre : (−40) ft/sec.

Figure (PageIndex{8}) : Au temps (t=5/4) sec, la vitesse de la roche est égale à sa vitesse moyenne à partir du moment où elle est lâchée jusqu'à ce qu'elle touche le sol.

Exercice (PageIndex{2})

Supposons qu'une balle tombe d'une hauteur de 200 pieds. Sa position au temps (t) est (s(t)=−16t^2+200.) Trouvez le temps (t) où la vitesse instantanée de la balle est égale à sa vitesse moyenne.

Indice

Tout d'abord, déterminez combien de temps il faut à la balle pour toucher le sol. Ensuite, trouvez la vitesse moyenne de la balle à partir du moment où elle tombe jusqu'à ce qu'elle touche le sol.

Réponse

(frac{5}{2sqrt{2}}) sec

Corollaires du théorème de la valeur moyenne

Voyons maintenant trois corollaires du théorème de la valeur moyenne. Ces résultats ont des conséquences importantes, que nous utiliserons dans les sections suivantes.

À ce stade, nous savons que la dérivée de toute fonction constante est nulle. Le théorème de la valeur moyenne nous permet de conclure que l'inverse est également vrai. En particulier, si (f′(x)=0) pour tout (x) dans un intervalle (I), alors (f(x)) est constant sur cet intervalle. Ce résultat peut sembler intuitivement évident, mais il a des implications importantes qui ne sont pas évidentes, et nous en discuterons brièvement.

Corollaire 1 : Fonctions avec une dérivée de zéro

Soit (f) dérivable sur un intervalle (I). Si (f′(x)=0) pour tout (x∈I), alors (f(x)=) constant pour tout (x∈I.)

Preuve

Comme (f) est dérivable sur (I), (f) doit être continu sur (I). Supposons que (f(x)) ne soit pas constant pour tout (x) dans (I). Alors il existe (a,b∈I), où (a≠b) et (f(a)≠f(b).) Choisir la notation telle que (a

(frac{f(b)−f(a)}{b−a}≠0.)

Puisque (f) est une fonction dérivable, par le théorème de la valeur moyenne, il existe (c∈(a,b)) tel que

(f′(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}).

Il existe donc (c∈I) tel que (f′(c)≠0), ce qui contredit l'hypothèse que (f′(x)=0) pour tout (x∈I) .

De la note, il s'ensuit que si deux fonctions ont la même dérivée, elles diffèrent au plus d'une constante.

Corollaire 2 : Théorème de la différence constante

Si (f) et (g) sont dérivables sur un intervalle (I) et (f′(x)=g′(x)) pour tout (x∈I), alors (f(x)=g(x)+C) pour une constante (C).

Preuve

Soit (h(x)=f(x)−g(x).) Alors, (h′(x)=f′(x)−g′(x)=0) pour tout (x ∈I.) D'après le corollaire 1, il existe une constante (C) telle que (h(x)=C) pour tout (x∈I). Donc, (f(x)=g(x)+C) pour tout (x∈I.)

Le troisième corollaire du théorème de la valeur moyenne discute quand une fonction augmente et quand elle diminue. Rappelons qu'une fonction (f) est croissante sur (I) si (f(x_1)f(x_2)) chaque fois que (x_1

Ce fait est important car il signifie que pour une fonction donnée (f), s'il existe une fonction (F) telle que (F′(x)=f(x)); alors, les seules autres fonctions qui ont une dérivée égale à (f) sont (F(x)+C) pour une constante (C). Nous discutons plus en détail de ce résultat plus loin dans le chapitre.

Figure (PageIndex{9}) : Si une fonction a une dérivée positive sur un intervalle (I), alors la fonction augmente sur cet intervalle (I); si la dérivée est négative sur un intervalle (I), alors la fonction décroît sur cet intervalle (I).

Corollaire 3 : Fonctions croissantes et décroissantes

Soit (f) continu sur l'intervalle fermé ([a,b]) et dérivable sur l'intervalle ouvert ((a,b)).

  1. Si (f′(x)>0) pour tout (x∈(a,b)), alors (f) est une fonction croissante sur ([a,b].)
  2. Si (f′(x)<0) pour tout (x∈(a,b)), alors (f) est une fonction décroissante sur ([a,b].)

Preuve

Nous allons prouver i.; la preuve de ii. est similaire. Supposons que (f) ne soit pas une fonction croissante sur (I). Alors il existe (a) et (b) dans (I) tels que (a

[f′(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}.]

Puisque (f(a)≥f(b)), on sait que (f(b)−f(a)≤0). Aussi, (a0.) Nous concluons que

[f′(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}≤0.]

Cependant, (f′(x)>0) pour tout (x∈I). C'est une contradiction, et donc (f) doit être une fonction croissante sur (I).

Concepts clés

  • Si (f) est continue sur ([a,b]) et dérivable sur ((a,b)) et (f(a)=0=f(b)), alors il existe un point (c∈(a,b)) tel que (f′(c)=0.) C'est le théorème de Rolle.
  • Si (f) est continue sur ([a,b]) et dérivable sur ((a,b)), alors il existe un point (c∈(a,b)) tel que

(f'(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a}.)

C'est le théorème de la valeur moyenne.

  • Si (f'(x)=0) sur un intervalle (I), alors (f) est constant sur (I).
  • Si deux fonctions dérivables (f) et (g) satisfont (f′(x)=g′(x)) sur (I), alors (f(x)=g(x) +C) pour une constante (C).
  • Si (f′(x)>0) sur un intervalle (I), alors (f) est croissant sur (I). Si (f′(x)<0) sur (I), alors (f) est décroissant sur (I).

Glossaire

théorème de la valeur moyenne

si (f) est continue sur ([a,b]) et dérivable sur ((a,b)), alors il existe (c∈(a,b)) tel que

(f′(c)=frac{f(b)−f(a)}{b−a})

théorème de rolle
si (f) est continue sur ([a,b]) et dérivable sur ((a,b)), et si (f(a)=f(b)), alors il existe (c∈(a,b)) tel que (f′(c)=0)

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


Voir la vidéo: Ma4 Intégration: Le théorème de la moyenne (Décembre 2021).