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12.4E : Exercices pour la section 12.4


Détermination de la longueur de l'arc

Aux questions 1 à 6, trouvez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle donné.

1) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+(2t^2+1),hat{mathbf{j}}, quad 1≤t ≤3)

Réponse:
(8sqrt{5}) unités

2) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+14t ,hat{mathbf{j}},quad 0≤t≤7). Cette partie du graphique est montrée ici :

3) (vecs r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩, quad −1≤t≤0)

Réponse:
(frac{1}{54}(37^{3/2}−1)) unités

4) (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩,quad 0≤t≤π). Cette partie du graphique est montrée ici :

5) (vecs r(t)=⟨e^{−t cos t},e^{−t sin t}⟩) sur l'intervalle ([0,frac{π}{2} ]). Voici la portion du graphique sur l'intervalle indiqué :

6)

7) Trouver la longueur d'un tour de l'hélice donnée par (vecs r(t)= frac{1}{2} cos t ,hat{mathbf{i}}+frac{1} {2} sin t ,hat{mathbf{j}}+sqrt{frac{3}{4}}t ,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
Longueur (=2π) unités

8) Trouver la longueur d'arc de la fonction vectorielle (vecs r(t)=−t ,hat{mathbf{i}}+4t ,hat{mathbf{j}}+3t ,hat{mathbf{k}}) sur ([0,1]).

9) Une particule se déplace dans un cercle avec l'équation du mouvement (vecs r(t)=3 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{ j}} +0 ,hat{mathbf{k}}). Trouvez la distance parcourue autour du cercle par la particule.

Réponse:
(6π) unités

10) Mettre en place une intégrale pour trouver la circonférence de l'ellipse avec l'équation (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+2 sin t ,hat{ mathbf{j}}+0,hat{mathbf{k}}).

11) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨sqrt{2}t,e^t,e^{−t}⟩) sur l'intervalle (0≤t≤1) . Le graphique est montré ici :

Réponse:
(left(e−frac{1}{e} ight)) unités

12) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩) pour (t∈[−10,10]).

Vecteurs tangents unitaires et vecteurs normaux unitaires

13) La fonction de position d'une particule est (vecs r(t)=a cos( ωt) ,hat{mathbf{i}}+b sin (ωt) ,hat{mathbf{ j}}). Trouvez le vecteur tangent unitaire et le vecteur normal unitaire à (t=0).

Solution:
(vecs r'(t) = -aω sin( t) ,hat{mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}})
( | vecs r'(t) | = sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^2(ωt)} )
(vecs T(t) = dfrac{vecs r'(t)}{| vecs r'(t) | } = dfrac{-aω sin( t) ,hat{ mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^ 2(ωt)}})
(vecs T(0)= ​​dfrac{bω ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(bω)^2}} = dfrac{bω ,hat{mathbf{j }}}{|bω|})
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; T(0)= ​​-hat{mathbf{ j}})
Réponse:
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; vecs T(0)= ​​-hat{ mathbf{j}})
Si (a > 0, ; vecs N(0)= -hat{mathbf{i}},) et si ( a < 0, ; vecs N(0)= hat{ mathbf{i}})

14) Soit (vecs r(t)=a cos (ωt) ,hat{mathbf{i}} +b sin (ωt) ,hat{mathbf{j}}), trouver le vecteur binormal (vecs B(0)).

15) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)).

Réponse:
(egin{align*} vecs T(t) &=⟨frac{2}{sqrt{6}},, frac{cos t− sin t}{sqrt{6}} , , frac{cos t+ sin t}{sqrt{6}}⟩ [4pt]
&= ⟨frac{sqrt{6}}{3},, frac{sqrt{6}}{6} (cos t− sin t), , frac{sqrt{6} }{6} (cos t+ sin t)⟩ end{align*})

16) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) évalué à (t=0), (vecs T(0)).

17) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur normal unitaire (vecs N(t)).

Réponse:
(vecs N(t)=⟨0,, -frac{sqrt{2}}{2} (sin t + cos t), , frac{sqrt{2}}{2 } (cos t- sin t)⟩)

18) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) évalué à (t=0), (vecs N(0)).

Réponse:
(vecs N(0)=⟨0, ;-frac{sqrt{2}}{2},;frac{sqrt{2}}{2}⟩)

19) Étant donné (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k }}), trouvez le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)). Le graphique est montré ici :

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>)

20) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) et le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) en (t=0) pour la courbe plane (vecs r(t )=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩). Le graphique est montré ici :

21) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=3t ,hat{mathbf{i}}+5t^2 ,hat{mathbf {j}}+2t ,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{100t^2+13}}(3 ,hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j} }+2 ,hat{mathbf{k}}))

22) Trouver le vecteur normal principal à la courbe (vecs r(t)=⟨6 cos t,6 sin t⟩) au point déterminé par (t=frac{π}{3} ).

23) Trouver (vecs T(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t) ,hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ) ,hat{mathbf{j}}).

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{9t^4+76t^2+16}}([3t^2−4],hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j}}))

24) Trouver (vecs N(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t),hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ),hat{mathbf{j}}).

25) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=⟨2 sin t,, 5t,, 2 cos t⟩).

Réponse:
(vecs T(t)=⟨frac{2sqrt{29}}{29}cos t,, frac{5sqrt{29}}{29},,−frac{2 sqrt{29}}{29}sin t⟩)

26) Trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) pour (vecs r(t)=⟨2sin t,,5t,,2cos t⟩).

Réponse:
(vecs N(t)=⟨−sin t,0,−cos t⟩)

Paramétrage de la longueur d'arc

27) Trouver la fonction de longueur d'arc (vecs s(t)) pour le segment de droite donné par (vecs r(t)=⟨3−3t,, 4t⟩). Ensuite, écrivez le paramétrage de la longueur d'arc de (r) avec (s) comme paramètre.

Réponse:
Fonction de longueur d'arc : (s(t)=5t); Le paramétrage de la longueur d'arc de (vecs r(t)): (vecs r(s)=(3−frac{3s}{5}),hat{mathbf{i}}+ frac{4s}{5},hat{mathbf{j}})

28) Paramétrer l'hélice (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+ sin t ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{ mathbf{k}}) en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), de (t=0).

29) Paramétrer la courbe en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), au point où (t=0) pour (vecs r(t)=e^t sin t ,hat{ mathbf{i}} + e^t cos t ,hat{mathbf{j}})

Réponse:
(vecs r(s)=(1+frac{s}{sqrt{2}}) sin ( ln (1+ frac{s}{sqrt{2}})), chapeau{mathbf{i}} +(1+ frac{s}{sqrt{2}}) cos [ ln (1+frac{s}{sqrt{2}})], chapeau{mathbf{j}})

Courbure et cercle osculateur

30) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+4 sin t ,hat{mathbf{j}}) à (t=π/3). (Noter: Le graphique est une ellipse.)

31) Trouvez la coordonnée (x) à laquelle la courbure de la courbe (y=1/x) est une valeur maximale.

Réponse:
La valeur maximale de la courbure se produit à (x=1).

32) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+5 sin t ,hat{mathbf{j}}) . La courbure dépend-elle du paramètre (t) ?

33) Trouver la courbure (κ) pour la courbe (y=x−frac{1}{4}x^2) au point (x=2).

Réponse:
(frac{1}{2})

34) Trouvez la courbure (κ) pour la courbe (y=frac{1}{3}x^3) au point (x=1).

35) Trouver la courbure (κ) de la courbe (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+6t^2 ,hat{mathbf{j}}+ 4t ,hat{mathbf{k}}). Le graphique est montré ici :

Réponse:
(κ≈dfrac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}})

36) Trouver la courbure de (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩).

37) Trouver la courbure de (vecs r(t)=sqrt{2}t ,hat{mathbf{i}}+e^t ,hat{mathbf{j}}+e^ {−t} ,hat{mathbf{k}}) au point (P(0,1,1)).

Réponse:
(frac{1}{2sqrt{2}})

38) A quel point la courbe (y=e^x) a-t-elle une courbure maximale ?

39) Qu'arrive-t-il à la courbure en tant que (x→∞) pour la courbe (y=e^x) ?

Réponse:
La courbure approche de zéro.

40) Trouvez le point de courbure maximale sur la courbe (y=ln x).

41) Trouver les équations du plan normal et du plan osculateur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin (3t),t,2 cos (3t)⟩) au point ((0 ,π,−2)).

Réponse:
(y=6x+π) et (x+6y=6π)

42) Trouver les équations des cercles osculateurs de l'ellipse (4y^2+9x^2=36) aux points ((2,0)) et ((0,3)).

43) Trouver l'équation du plan osculateur au point (t=π/4) sur la courbe (vecs r(t)=cos (2t) ,hat{mathbf{i}}+ sin (2t) ,hat{mathbf{j}}+t,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
(x+2z=frac{π}{2})

44) Trouver le rayon de courbure de (6y=x^3) au point ((2,frac{4}{3}).)

45) Trouver la courbure en chaque point ((x,y)) sur l'hyperbole (vecs r(t)=⟨a cosh( t),b sinh (t)⟩).

Réponse:
(dfrac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}})

46) Calculer la courbure de l'hélice circulaire (vecs r(t)=r sin (t) ,hat{mathbf{i}}+r cos (t) ,hat{mathbf{ j}}+t ,hat{mathbf{k}}).

47) Trouvez le rayon de courbure de (y= ln (x+1)) au point ((2,ln 3)).

Réponse:
(frac{10sqrt{10}}{3})

48) Trouvez le rayon de courbure de l'hyperbole (xy=1) au point ((1,1)).

Une particule se déplace le long de la courbe plane (C) décrite par (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}} ). Utilisez ce paramétrage pour répondre aux questions 49 à 51.

49) Trouvez la longueur de la courbe sur l'intervalle ([0,2]).

Réponse:
(frac{1}{4}ig[ 4sqrt{17} + lnleft(4+sqrt{17} ight)ig] ext{ units }approx 4.64678 ext{ units })

50) Trouvez la courbure de la courbe plane à (t=0,1,2).

51) Décrivez la courbure comme t augmente de (t=0) à (t=2).

Réponse:
La courbure est décroissante sur cet intervalle.

La surface d'une grande tasse est formée en faisant tourner le graphe de la fonction (y=0.25x^{1.6}) de (x=0) à (x=5) autour du (y) -axe (mesuré en centimètres).

52) [T] Utilisez la technologie pour tracer la surface.

53) Trouver la courbure (κ) de la courbe génératrice en fonction de (x).

Réponse:
(κ=dfrac{30}{x^{2/5}gauche(25+4x^{6/5}droit)^{3/2}})

Notez qu'initialement votre réponse peut être :
(dfrac{6}{25x^{2/5}gauche(1+frac{4}{25}x^{6/5}droit)^{3/2}})

Nous pouvons le simplifier comme suit :
( egin{align*} dfrac{6}{25x^{2/5}left(1+frac{4}{25}x^{6/5} ight)^{3/2} } &= dfrac{6}{25x^{2/5}grand[frac{1}{25}gauche(25+4x^{6/5}droit)grand]^{3/2 }}[4pt]
&= dfrac{6}{25x^{2/5}gauche(frac{1}{25} ight)^{3/2}ig[25+4x^{6/5}ig] ^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{6}{frac{25}{125}x^{2/5}ig[25+4x^{6/5}ig]^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{30}{x^{2/5}left(25+4x^{6/5} ight)^{3/2}}end{align*} )

54) [T] Utilisez la technologie pour représenter graphiquement la fonction de courbure.


Article 4 de la loi sur les droits de vote

Ce document est fourni à des fins historiques seulement. Le ministère de la Justice n'utilisera, ne citera ou ne s'appuiera pas sur ce document, sauf pour établir un fait historique. Il ne faut pas s'attendre à ce que les informations contenues dans ce document soient à jour ou correctes.

La décision de la Cour suprême dans Shelby County v. Holder, 570 US 529 (2013) a jugé que la formule de couverture énoncée à l'article 4 (b) de la loi était inconstitutionnelle et, par conséquent, aucune juridiction n'est désormais soumise à la formule de couverture. à l'article 4(b) ou aux articles 4(f)(4) et 5 de la loi. Par conséquent, les informations d'orientation concernant la résiliation de la couverture en vertu de l'article 4 (a) de la loi sur les droits de vote (c'est-à-dire le renflouement) de certaines dispositions spéciales de la loi ne sont plus nécessaires. Les informations concernant le renflouement en vertu de la section 4(a) et les cas de renflouement passés sont présentées ici sur cette page d'archives à des fins historiques.


Résumé

Une ligne de régression, ou une ligne de meilleur ajustement, peut être tracée sur un nuage de points et utilisée pour prédire les résultats pour les variables (x) et (y) dans un ensemble de données ou un échantillon de données donné. Il existe plusieurs manières de trouver une ligne de régression, mais la ligne de régression des moindres carrés est généralement utilisée car elle crée une ligne uniforme. Les résidus, également appelés &ldquoerrors,&rdquo mesurent la distance entre la valeur réelle de (y) et la valeur estimée de (y). La somme des erreurs au carré, lorsqu'elle est définie à son minimum, calcule les points sur la ligne de meilleur ajustement. Les lignes de régression peuvent être utilisées pour prédire des valeurs dans un ensemble de données donné, mais ne doivent pas être utilisées pour faire des prédictions pour des valeurs en dehors de l'ensemble de données.

Le coefficient de corrélation (r) mesure la force de l'association linéaire entre (x) et (y). La variable (r) doit être comprise entre &ndash1 et +1. Lorsque (r) est positif, les (x) et (y) auront tendance à augmenter et à diminuer ensemble. Lorsque (r) est négatif, (x) augmentera et (y) diminuera, ou au contraire, (x) diminuera et (y) augmentera. Le coefficient de détermination (r^<2>), est égal au carré du coefficient de corrélation. Lorsqu'il est exprimé en pourcentage, (r^<2>) représente le pourcentage de variation de la variable dépendante (y) qui peut être expliqué par la variation de la variable indépendante (x) à l'aide de la droite de régression.

Glossaire

où (n) est le nombre de points de données. Le coefficient ne peut pas être supérieur à 1 et inférieur à &ndash1. Plus le coefficient est proche de (pm 1), plus la preuve d'une relation linéaire significative entre (x) et (y) est forte.


12.4 Théorème du binôme

Dans nos travaux précédents, nous avons mis au carré des binômes soit en utilisant FOIL, soit en utilisant le modèle de carrés binomiaux. On peut aussi dire qu'on a développé ( a + b ) 2 . ( a + b ) 2 .

Pour trouver une méthode moins fastidieuse qui fonctionnera pour des développements plus élevés comme ( a + b ) 7 , ( a + b ) 7 , nous recherchons à nouveau des modèles dans certains développements.

Généralement, nous ne montrons pas les exposants zéro, tout comme nous écrivons habituellement X plutôt que 1X.

Modèles dans l'expansion de ( a + b ) n ( a + b ) n

Regardons un exemple pour mettre en évidence les trois derniers modèles.

D'après les modèles que nous avons identifiés, nous voyons que les variables dans l'expansion de ( a + b ) n , ( a + b ) n , seraient

Pour trouver les coefficients des termes, nous écrivons à nouveau nos développements en nous concentrant sur les coefficients. Nous réécrivons les coefficients à droite formant un tableau de coefficients.

Le tableau de droite est appelé Triangle de Pascal . Notez que chaque nombre du tableau est la somme des deux nombres les plus proches de la rangée ci-dessus. Nous pouvons trouver la ligne suivante en commençant et en terminant par un, puis en ajoutant deux nombres adjacents.

Ce triangle donne les coefficients des termes lorsque l'on développe des binômes.

Le Triangle de Pascal

Dans l'exemple suivant, nous utiliserons ce triangle et les motifs que nous avons reconnus pour développer le binôme.

Exemple 12.31

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( x + y ) 6 . ( x + y ) 6 .

Solution

Nous savons que les variables de cette expansion suivront le modèle que nous avons identifié. Les exposants non nuls de X commencera à six et diminuera à un. Les exposants non nuls de oui commencera à un et passera à six. La somme des exposants de chaque terme sera de six. Dans notre modèle, a = x a = x et b = y . b = y.

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( x + y ) 5 . ( x + y ) 5 .

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( p + q ) 7 . ( p + q ) 7 .

Dans l'exemple suivant, nous voulons développer un binôme avec une variable et une constante. Nous devons identifier les une et b appliquer soigneusement le motif.

Exemple 12.32

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( x + 3 ) 5 . ( x + 3 ) 5 .

Solution

Nous identifions le une et b du motif.

Nous savons que les variables de cette expansion suivront le modèle que nous avons identifié. La somme des exposants de chaque terme sera de cinq.

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( x + 2 ) 4 . ( x + 2 ) 4 .

Utilisez le Triangle de Pascal pour développer ( x + 1 ) 6 . ( x + 1 ) 6 .

Dans l'exemple suivant, le binôme est une différence et le premier terme a une constante multipliée par la variable. Une fois que nous avons identifié le une et b du motif, nous devons à nouveau appliquer soigneusement le motif.

Exemple 12.33

Utilisez le triangle de Pascal pour développer ( 3 x − 2 ) 4 . ( 3 x − 2 ) 4 .

Solution

Nous identifions le une et b du motif.

Utilisez le Triangle de Pascal pour développer ( 2 x − 3 ) 4 . ( 2 x − 3 ) 4 .

Utilisez le Triangle de Pascal pour développer ( 2 x − 1 ) 6 . ( 2 x − 1 ) 6 .

Évaluer un coefficient binomial

Alors que le triangle de Pascal est une méthode pour développer un binôme, nous examinerons également une autre méthode. Avant d'en arriver là, nous devons introduire un peu plus de notation factorielle . Cette notation n'est pas seulement utilisée pour développer des binômes, mais aussi dans l'étude et l'utilisation des probabilités.

Pour trouver les coefficients des termes de binômes développés, il faudra pouvoir évaluer la notation ( n r ) ( n r ) que l'on appelle un coefficient binomial . Nous lisons ( n r ) ( n r ) comme "m choisir r" ou alors "m pris r à la fois".

Coefficient binomial ( n r ) ( n r )

Exemple 12.34

Solution

ⓐ Nous utiliserons la définition d'un coefficient binomial, ( n r ) = n ! r ! ( n − r ) ! . ( nr ) = n ! r ! ( n − r ) ! .

Évaluez chaque coefficient binomial :

Évaluez chaque coefficient binomial :

Dans l'exemple précédent, les parties (a), (b), (c) démontrent certaines propriétés spéciales des coefficients binomiaux.

Propriétés des coefficients binomiaux

Utiliser le théorème du binôme pour développer un binôme

Nous sommes maintenant prêts à utiliser la méthode alternative de développement de binômes. Le théorème binomial utilise le même modèle pour les variables, mais utilise le coefficient binomial pour le coefficient de chaque terme.

Théorème du binôme

Pour tous les nombres réels une et b, et entier positif m,

Exemple 12.35

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( p + q ) 4 . ( p + q ) 4 .

Solution

Nous identifions le une et b du motif.

Nous utilisons le théorème du binôme.

Remplacez dans les valeurs a = p , a = p , b = q b = q et n = 4 . n = 4 .

Évaluer les coefficients. Rappelez-vous, ( n 1 ) = n , ( n 1 ) = n , ( n n ) = 1 , ( n n ) = 1 , ( n 0 ) = 1 . ( n 0 ) = 1 .

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( x + y ) 5 . ( x + y ) 5 .

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( m + n ) 6 . ( m + n ) 6 .

L'exemple suivant, le binôme est une différence. Lorsque le binôme est une différence, nous devons être prudents dans l'identification des valeurs que nous utiliserons dans le motif.

Exemple 12.36

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( x − 2 ) 5 . ( x − 2 ) 5 .

Solution

Nous identifions le une et b du motif.

Nous utilisons le théorème du binôme.

Remplacez les valeurs a = x , a = x , b = −2 , b = −2 et n = 5 . n = 5 .

Simplifier les exposants et évaluer les coefficients. Rappelez-vous, ( n 1 ) = n , ( n 1 ) = n , ( n n ) = 1 , ( n n ) = 1 , ( n 0 ) = 1 . ( n 0 ) = 1 .

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( x − 3 ) 5 . ( x − 3 ) 5 .

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( y − 1 ) 6 . ( y − 1 ) 6 .

Les choses peuvent devenir compliquées lorsque les deux termes ont un coefficient et une variable.

Exemple 12.37

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( 2 x − 3 y ) 4 . ( 2 x − 3 ans ) 4 .

Solution

Nous identifions le une et b du motif.

Nous utilisons le théorème du binôme.

Substituer dans les valeurs a = 2 x , a = 2 x , b = -3 y b = -3 y et n = 4 . n = 4 .

Évaluer les coefficients. Rappelez-vous, ( n 1 ) = n , ( n n ) = 1 , ( n 0 ) = 1 . ( n 1 ) = n , ( n n ) = 1 , ( n 0 ) = 1 .

( 2 x − 3 y ) 4 = 1 ( 2 x ) 4 + 4 ( 2 x ) 3 ( -3 y ) 1 + 4 ! 2 ! ( 2 ) ! ( 2 x ) 2 ( -3 y ) 2 + 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! ( 2 x ) 1 ( -3 y ) 3 + 1 ( -3 y ) 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 1 ( 2 x ) 4 + 4 ( 2 x ) 3 ( -3 y ) 1 + 4 ! 2 ! ( 2 ) ! ( 2 x ) 2 ( -3 y ) 2 + 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! ( 2 x ) 1 ( -3 ans ) 3 + 1 ( -3 ans ) 4

( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 ( -3 y ) + 6 ( 4 x 2 ) ( 9 y 2 ) + 4 ( 2 x ) ( −27 y 3 ) + 81 y 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 ( -3 y ) + 6 ( 4 x 2 ) ( 9 y 2 ) + 4 ( 2 x ) ( −27 y 3 ) + 81 oui 4

( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 − 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 − 216 xy 3 + 81 y 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 − 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 − 216 xy 3 + 81 y 4

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( 3 x − 2 y ) 5 . ( 3 x − 2 ans ) 5 .

Utilisez le théorème du binôme pour développer ( 4 x − 3 y ) 4 . ( 4 x − 3 ans ) 4 .

La vraie beauté du théorème binomial est qu'il donne une formule pour un terme particulier du développement sans avoir à calculer la somme entière. Cherchons un motif dans le théorème binomial .

Trouver un terme spécifique dans un développement binomial

Exemple 12.38

Trouvez le quatrième terme de ( x + y ) 7 . ( x + y ) 7 .

Solution

Trouvez le troisième terme de ( x + y ) 6 . ( x + y ) 6 .

Trouvez le cinquième terme de ( a + b ) 8 . ( a + b ) 8 .

Exemple 12.39

Trouvez le coefficient du terme x 6 x 6 de ( x + 3 ) 9 . ( x + 3 ) 9 .

Solution

Trouvez le coefficient du terme x 5 x 5 de ( x + 4 ) 8 . ( x + 4 ) 8 .

Trouvez le coefficient du terme x 4 x 4 de ( x + 2 ) 7 . ( x + 2 ) 7 .

Médias

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec des séquences.

Section 12.4 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Utilisez le triangle de Pascal pour développer un binôme

Dans les exercices suivants, développez chaque binôme à l'aide du triangle de Pascal.

Évaluer un coefficient binomial

Dans les exercices suivants, évaluez.

Utiliser le théorème du binôme pour développer un binôme

Dans les exercices suivants, développez chaque binôme.

Dans les exercices suivants, trouvez le terme indiqué dans le développement du binôme.

Septième terme de ( x − y ) 11 ( x − y ) 11

Dans les exercices suivants, trouvez le coefficient du terme indiqué dans le développement du binôme.

Exercices d'écriture

Dans vos propres mots, expliquez comment trouver les lignes du triangle de Pascal. Écris les cinq premières lignes du triangle de Pascal.

Dans vos propres mots, expliquez la régularité des exposants pour chaque variable dans le développement de.

Dans vos propres mots, expliquez la différence entre ( a + b ) n ( a + b ) n et ( a − b ) n . ( a - b ) n .

Dans vos propres mots, expliquez comment trouver un terme spécifique dans le développement d'un binôme sans développer le tout. Utilisez un exemple pour aider à expliquer.

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Sur une échelle de 1 à 10, comment évalueriez-vous votre maîtrise de cette section à la lumière de vos réponses sur la liste de contrôle ? Comment pouvez-vous améliorer cela ?

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    • Auteurs : Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Intermediate Algebra 2e
    • Date de parution : 6 mai 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-4-binomial-theorem

    © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    « Organisation locale de gestion des urgences » désigne une organisation créée conformément au présent chapitre par l'État ou une subdivision politique pour exercer des fonctions de gestion des urgences locales.

    « Fournitures médicales » désigne tout médicament, équipement médical durable, instruments, linge de maison ou tout autre matériel qu'un fournisseur de soins de santé juge non essentiel au fonctionnement continu de son cabinet ou de son établissement. Le terme fournitures médicales ne s'applique pas aux médicaments, à l'équipement médical durable ou à tout autre matériel qui est un bien personnel utilisé par des particuliers ou qui a été emprunté, loué ou loué par des particuliers à des fins de traitement ou de soins.


    12.4E : Exercices pour la section 12.4

    George doit remettre un aperçu du discours qu'il est chargé de prononcer. Le discours lui-même est dans deux semaines, mais le plan est attendu aujourd'hui. George a déjà écrit tout le discours, et il ne voit pas pourquoi il devrait passer du temps à en supprimer des parties pour le transformer en une esquisse. Il sait exactement ce qu'il va dire quand il prononce le discours. Puis il découvre que le programme de traitement de texte de son ordinateur peut créer une version schématique d'un document. Ah ! La technologie à la rescousse ! George rend joyeusement le contour généré par ordinateur, confiant qu'il n'aura plus jamais à s'embêter à écrire lui-même un contour.

    1. Pensez-vous que l'utilisation par George d'un plan généré par ordinateur remplit l'objectif de créer un plan pour un discours ? Pourquoi ou pourquoi pas?
    2. Pensez-vous que le professeur de George sera capable de dire que le plan a été créé par un programme de traitement de texte ?

    Évaluation de fin de chapitre

    Joe commence à préparer son discours et a construit un bref aperçu qui esquisse sa thèse et ses points principaux, mais n'a pas encore de conclusion ou de transition complètement développée. Quel type de contour Joe a-t-il construit ?

    1. contour parlant
    2. contour de la phrase complète
    3. contour d'ouverture
    4. plan de travail
    5. contour transitoire

    Brenda a préparé son exposé sur un ensemble de six fiches, elle pense donc avoir fini de préparer son discours. Vous lui dites qu'il ne suffit pas de préparer le plan de l'expression orale, elle doit également s'entraîner à utiliser ses fiches. pourquoi est-ce le cas?


    12.4 La présentation des états financiers consolidés

    À la fin de cette section, les étudiants devraient être en mesure d'atteindre les objectifs suivants :

    1. Énumérez les diverses raisons pour lesquelles une entreprise cherche à prendre le contrôle d'une autre.
    2. Reconnaître que des états financiers consolidés doivent être préparés si une entreprise a le contrôle sur une autre qui est normalement supposée être la propriété de tout montant supérieur à 50 pour cent des actions en circulation de l'entreprise.
    3. Expliquer la présentation des revenus et des dépenses d'une filiale lorsque les états financiers consolidés sont préparés à la date d'acquisition.
    4. Expliquer la présentation des actifs et passifs d'une filiale lorsque les états financiers consolidés sont préparés à la date d'acquisition.
    5. Déterminer les totaux consolidés après la date d'acquisition.
    6. Calculez la rotation totale des actifs et le rendement des actifs (ROA).

    Question : De nombreuses entreprises achètent plus de 50 % des actions d'autres entreprises afin d'en prendre le contrôle. Dans un grand nombre de ces acquisitions, une société obtient toutes les actions en circulation de l'autre afin que la propriété soit complète. Si deux sociétés sont réunies pour en former une troisième, une fusion a eu lieu. Si une entreprise en achète simplement une autre, la transaction est connue sous le nom d'acquisition. Thomson Financial a indiqué qu'environ 35 000 fusions et acquisitions ont eu lieu dans le monde en 2006, pour une valeur totale de 3 500 milliards de dollars. La récente récession a quelque peu atténué cette tendance.

    De tels investissements sont souvent faits pour étendre les opérations à de nouveaux marchés ou de nouvelles industries. Google, par exemple, a racheté YouTube pour 1,65 milliard de dollars pour se lancer dans la présentation de vidéos en ligne. Comme indiqué précédemment dans la couverture des actifs incorporels, une entreprise peut en acheter une autre pour obtenir des actifs de valeur tels que des brevets, des biens immobiliers, des marques de commerce, des technologies, etc. L'achat de Pixar par Walt Disney et son expertise en animation numérique semblent appartenir à cette catégorie. De telles transactions peuvent également être effectuées pour éliminer la concurrence ou dans l'espoir de réaliser des économies d'échelle. La fusion de 35 milliards de dollars de Sprint avec Nextel devait augmenter les bénéfices des sociétés combinées en réduisant les dépenses d'exploitation tout en réduisant le nombre de concurrents dans l'industrie des communications sans fil..

    Pour aider à expliquer la méthode appropriée de comptabilisation de tels investissements, supposons que Giant Company acquiert 100 pour cent de Tiny Company. De toute évidence, le contrôle a été obtenu. Comment le reporting de Giant est-il affecté ? Parce que plus de 50 pour cent des actions ont été achetées, aucune des méthodes comptables décrites précédemment n'est applicable. Comment une entreprise déclare-t-elle l'acquisition d'une autre entreprise dont le contrôle est établi ?

    Réponse : Selon les PCGR des États-Unis, le contrôle est obtenu par l'acquisition de plus de 50 % des actions avec droit de vote d'une entreprise. Les actionnaires de Giant contrôlent désormais à la fois Giant et Tiny. En conséquence, un regroupement d'entreprises a été formé à partir des deux sociétés précédemment indépendantes. Aux fins des rapports externes, des états financiers consolidés sont requis. Giant ne déclare pas un investissement dans le compte Tiny dans son bilan comme avec les autres méthodes décrites ci-dessus. Au lieu de cela, dans la consolidation, les soldes des comptes individuels de chaque organisation sont regroupés d'une manière prescrite pour représenter l'entité économique unique qui a été créée. En termes simples, les actifs, passifs, revenus et dépenses de Tiny (la filiale) sont consolidés avec ceux de Giant (la société mère) pour refléter l'entreprise unie.

    Étant donné que de telles acquisitions sont courantes, les états financiers publiés par de nombreuses sociétés bien connues incluent en fait des données financières consolidées provenant de centaines de filiales différentes dont le contrôle a été acquis au cours d'un certain nombre d'années. À titre d'exemple, Cisco Systems a réalisé environ soixante acquisitions d'autres sociétés entre 2000 et 2007. Par la suite, les états financiers publiés pour Cisco Systems comprenaient les revenus, les dépenses, les actifs et les passifs de chacune de ces filiales.

    La consolidation des états financiers est l'un des sujets les plus complexes de toute la comptabilité financière. Cependant, le processus de base est assez simple.

    Produits et charges des filiales. Les revenus et les dépenses de chaque filiale sont inclus dans les chiffres consolidés mais uniquement pour la période suivant la prise de contrôle. Par conséquent, si Giant obtient Tiny en achetant 100 % de ses actions le 1er avril, un compte de résultat consolidé de ces deux sociétés ne contiendra aucun chiffre d'affaires et aucune dépense comptabilisés par Tiny avant cette date. Les soldes du compte de résultat accumulés sous les propriétaires précédents n'ont aucun impact financier sur le nouveau propriétaire, Giant. Seuls les revenus et dépenses de cette filiale à compter du 1er avril sont inclus dans les totaux consolidés calculés pour Giant Company et sa filiale consolidée.

    Actifs et passifs des filiales. La consolidation des actifs et passifs des filiales est un processus plus compliqué. A la date de prise de contrôle, un prix total d'acquisition est déterminé sur la base de la juste valeur cédée par la société mère afin d'en prendre le contrôle. Une recherche est ensuite effectuée pour identifier tous les actifs et passifs individuels détenus par la filiale à ce moment-là. Comme indiqué dans le chapitre précédent, la société mère comptabilise tous les actifs subsidiaires (1) qui confèrent des droits contractuels ou légaux ou (2) dans lesquels l'actif peut être séparé puis vendu. La juste valeur est établie et enregistrée pour chacun comme si la société mère les acquérait individuellement. Une transaction a eu lieu qui place tous ces actifs et passifs de filiales sous le contrôle de la société mère. Les valeurs de consolidation sont déclarées comme si elles avaient été achetées séparément par la société mère.

    De plus, comme expliqué précédemment, si le prix d'acquisition est supérieur à la juste valeur totale de tous ces actifs et passifs identifiables, l'écart d'acquisition des immobilisations incorporelles est comptabilisé pour la différence. En tant qu'entreprise en activité, une valeur totale est généralement attribuée à une entreprise qui dépasse les valeurs individuelles de ses actifs et passifs. Avoir des clients fidèles et des employés formés, par exemple, aide une entreprise à générer plus de bénéfices que ses actifs ne pourraient en gagner autrement. Lors du rachat d'une entreprise, cette rentabilité anticipée entraîne généralement une augmentation du prix négocié. Cet excédent nécessite la comptabilisation d'un écart d'acquisition au bilan consolidé.

    Exercer

    Lien vers la question à choix multiples à des fins de pratique : http://www.quia.com/quiz/2092973.html

    Question : Pour illustrer le processus de consolidation, supposons que Tiny a réalisé des revenus de 800 000 $ et engagé des dépenses de 500 000 $ au cours de l'année à ce jour. De plus, la société déclare un seul actif, un terrain coûtant 400 000 $ mais avec une juste valeur de 720 000 $. Le seul passif est un billet de 300 000 $ à payer. Ainsi, la valeur comptable nette de l'entreprise est de 100 000 $ (400 000 $ de terrain moins 300 000 $ d'effet à payer). Tiny détient également les droits d'une marque bien connue qui n'a aucune valeur comptable car elle a été développée il y a de nombreuses années à peu ou pas de frais. Cependant, il est maintenant estimé à 210 000 $.

    Les actifs et les passifs détenus par Tiny ont une juste valeur nette de 630 000 $ (72 000 $ de terrain plus 210 000 $ de marque de commerce moins 300 000 $ d'effet à payer). Parce que la société a été extrêmement populaire et a développé une large clientèle, Giant accepte de payer 900 000 $ pour acquérir tout le stock en circulation.. Si des états financiers consolidés sont créés au moment d'une acquisition d'entreprise, quels sont les chiffres rapportés par le regroupement d'entreprises ?

    Réponse : Dans la consolidation de Giant et de sa filiale Tiny à la date de cette acquisition, ni les revenus de la filiale de 800 000 $ ni ses dépenses de 500 000 $ ne sont inclus. Leur impact financier s'est produit avant la prise de contrôle par Giant, ces bénéfices ont profité aux propriétaires précédents. Ainsi, seuls les revenus et dépenses déclarés par Giant constituent les totaux du compte de résultat consolidé déterminés le jour de l'acquisition de la filiale par la société mère.

    Dans le même temps, les totaux du bilan consolidé ne montreront aucun « investissement dans Tiny Company » comme dans les autres méthodes démontrées ci-dessus. Instead, Tiny’s land is added to Giant’s own totals at its $720,000 fair value. The trademark is consolidated at $210,000 to reflect the amounts paid by Giant to acquire ownership of the subsidiary. The note payable is added to the consolidated figures at $300,000, which was its fair value as well as its book value. Subsidiary assets and liabilities are included in consolidated totals as if purchased by the parent. Mechanically, a $320,000 increase is made to the land account while $210,000 is recorded to recognize the value of the trademark.

    The acquisition price of $900,000 paid by Giant exceeds the net value of the subsidiary’s identifiable assets and liabilities ($610,000) by $290,000. In consolidation, any excess acquisition payment is assumed to represent goodwill and is reported as an intangible asset.

    Figure 12.16 Consolidated Totals—Date of Acquisition

    Exercer

    Link to multiple-choice question for practice purposes: http://www.quia.com/quiz/2093014.html

    Question: On the date of acquisition, subsidiary revenues and expenses are omitted from consolidation totals but assets and liabilities are included at fair value. Any excess payment made by the parent in purchasing the subsidiary is reported as goodwill. In subsequent consolidations, what accounting is made of the subsidiary’s revenues, expenses, assets, and liabilities?

    Answer: For subsequent balance sheets created after a business combination is formed, the book value of each of the subsidiary’s assets and liabilities is added to the book value of those same accounts within the parent’s financial records. However, the initial adjustments made at the date of acquisition to establish fair value must continue to be included because they represent a cost incurred by Giant when the $900,000 payment was made to acquire Tiny Company.

    Thus, in future consolidations of these two companies, the $320,000 adjustment recorded to the land account will be present as will the $210,000 portion of the payment assigned to the subsidiary’s trademark and the $270,000 goodwill balance. Those costs were not recognized by Tiny but were incurred by Giant at the time of acquisition and must be reflected in the ongoing reporting of those assets.

    Recognition of these subsequent adjustments creates one final concern. A trademark has a finite life. Thus, the $210,000 cost paid by the parent and attributed to this asset must be amortized over time. This additional expense is only recognized in the consolidation process since it relates to the purchase of Tiny and not to the operations of either company. Neither land nor goodwill has a finite life so amortization is not appropriate for those purchase price adjustments. As discussed previously, these assets are checked periodically for impairment of value.

    Subsequently consolidated income statements report the parent’s revenues and expenses plus subsidiary amounts but only those recognized since the acquisition. In addition, the amortization of acquisition cost adjustments, such as for the trademark, will be recognized within the consolidation as an expense.

    Figure 12.17 Consolidated Totals—Subsequent to Date of Acquisition

    Exercer

    Link to multiple-choice question for practice purposes: http://www.quia.com/quiz/2093016.html

    Question: Chapter 12 “In a Set of Financial Statements, What Information Is Conveyed about Equity Investments?” completes coverage of the assets reported by a company on its balance sheet. In earlier chapters on receivables, inventory, and property and equipment, vital signs were computed and explained as figures and ratios often used in evaluating a company—especially its financial health and future prospects. Do any similar vital signs exist for assets as a whole that decision makers typically use as part of an overall evaluation?

    Answer: A company controls a specific amount of assets. Most investors and other decision makers are interested in how effectively management was able to use these resources. Individuals who study companies search for signs that an appropriate level of income was generated from the assets on hand.

    Total asset turnover. Total asset turnover is one such figure. It simply indicates management’s efficiency at generating sales. Sales must occur before profits can be earned from normal operations. If assets are not well used to create sales, profits will probably never arise.

    total asset turnover = sales revenue/average total assets

    For example, here is information reported for 2008 by PepsiCo Inc. and The Coca-Cola Company. Based on this information, the total asset turnover can be computed for each company.

    Figure 12.18 2008 Comparison of PepsiCo Inc. and The Coca-Cola Company

    Return on assets. Probably one of the most commonly used vital signs employed in studying the financial health of a company is return on assets , often known as ROA. It is simply net income divided by average total assets and is viewed by many as an appropriate means of measuring management’s efficiency in using company resources.

    return on assets (ROA) = net income/average total assets

    Some analysts modify the income figure in this computation by removing interest expense to eliminate the impact of different financing strategies.

    For 2008, PepsiCo reported net income of $5.1 billion so that its ROA for the year was 14.4 percent ($5.1 net income/$35.3 average total assets). For the same period, The Coca-Cola Company reported net income of $5.8 billion for an ROA of 13.8 percent ($5.8/$41.9).

    Clé à emporter

    Companies often attempt to obtain control over other companies for many reasons including gaining access to valuable assets and eliminating competition. According to U.S. GAAP, control is established by acquiring over 50 percent of the ownership shares. At that point, consolidated financial statements must be prepared bringing together the financial accounts from both companies. For the subsidiary, only revenues and expenses since the takeover are included. In consolidating the assets and liabilities of the subsidiary, any difference on the date of acquisition between fair value and book value is computed and assumed to represent an additional cost incurred by the parent. If the asset or liability has a finite life, this amount is then included in all subsequent consolidations after periodic amortization is removed. Goodwill is reported for any unexplained excess payment made in acquiring control over the subsidiary. Many analysts compute total asset turnover and return on assets (ROA) in evaluating the efficiency of management’s use of company assets.

    Talking with a Real Investing Pro (Continued)

    Following is a continuation of our interview with Kevin G. Burns.

    Question: For the year ended December 31, 2008, Yahoo! Inc. reported its net income as approximately $424 million. The company also disclosed comprehensive income of only $213 million. Does it disturb you that this one company reports two separate income figures and they can be so significantly different? Or do you find disclosing income in two distinct ways to be helpful when you analyze a company like this?

    Kevin Burns: Actually I think the idea of disclosing income in two different ways makes sense. Having said that, if I were a shareholder of Yahoo! I would want to ask, Why these numbers are so far apart? What exactly is included in (or excluded from) each of these income figures? Is the company’s core business sound? This question is probably best answered by net income. The reduction in arriving at comprehensive income is likely to have come from losses in the value of available-for-sale investments and from holding foreign currency balances. Is management distracted by trying to manage a large investment portfolio? How much of the difference comes from currency rate changes, and is there a way to hedge this volatility to reduce the impact? If there is a way to hedge the risk, why did company officials not do so?

    In sum, the reason I like including both income numbers is that anything that increases disclosure is a positive, especially when investing money. The more transparency the better is my feeling. Then, investors can make up their own minds as to management’s competence and the success of the overall business of the company.


    12.4E: Exercises for Section 12.4

    Translate the following passages into plain English:

    • A prehearing conference was held on July 15, 2000, and the result of said conference was that Rawson was given an extension of time until August 6 to respond to Vicker's motion. Rawson subsequently failed to file any response thereto.
    • In the event that any employee is requested to testify in any judicial or administrative proceeding, said party will give the company prompt notice of such request in order that the company may seek an appropriate protective order.
    • The court asks whether the plaintiff is guilty of unreasonable delay in asserting its rights. Such determination is committed to the trial court's sound discretion. The emphasis is on the reasonableness of the delay, not the length of such delay.
    • Subsequent to the Bank's dishonor and return of the forged check, the United States served the aforementioned subpoena upon the Bank and directed the Bank to deliver to his office forthwith, upon receipt, at any time and from time to time, any and all bank checks, cashier's checks, and similar items stolen in the robbery that transpired on July 2, 2000.

    Intermediate

    Translate the following passages into plain English:

    • All modifications, interlineations, additions, supplements, and/or changes to this Contractual Amendment are subject to and conditioned upon a fully executed, signed, and dated acceptance, approval, and confirmation at Pantheon's corporate headquarters.
    • An interpreter is needed if, after examining a witness, the court arrives at the conclusion that the witness is without the ability to understand and speak English at a sufficient level of proficiency to comprehend the proceedings in such a way as to assist counsel in the conduct of the case.
    • This letter shall confirm our understanding and agreement that if your loan application on the above-described property is approved, you shall occupy the same as your primary residence within thirty (30) days of the closing date. You are aware that if you shall fail to do so, such failure shall constitute a default under the Note and Security Instrument executed in connection with your loan, and upon occurrence of such default the full and entire amount of the principal and interest payable pursuant to said Note shall become immediately due and payable at the option of the holder thereof.
    • Pursuant to the provisions of §§ 3670, 3671, and 3672 of the Internal Revenue Code of the United States, notice is hereby given that there have been assessed under the Internal Revenue Code of the United States, against the following-named taxpayer, taxes (including interest and penalties) which after demand for payment thereof remain unpaid, and that by virtue of the above-mentioned statutes the amount (or amounts) of said taxes, together with penalties, interest, and costs that may accrue in addition thereto, is (or are) a lien (or liens) in favor of the United States upon all property and rights to property belonging to said taxpayer.

    Avancée

    Find a published piece of legal writing that is thick with legalese. Prepare a short memo--no more than three pages--in which you (1) show at least two paragraphs from the original, (2) show how you would edit the passage, and (3) explain briefly why you made your edits. If possible, cite authority (such as a usage guide--see § 48) in support of your edits.

    In the literature on legal language and legal writing, find three quotable paragraphs (each from a different writer) discussing legalese. Assemble the quotations and citations. If you belong to a writing group or class, bring a copy of your quotations for each colleague.


    Q: A power supply maintains a potential difference of 64.3 V64.3 V across a 2950 Ω2950 Ω resistor. What.

    R : Cliquez pour voir la réponse

    Q: These are basic physics questions that I need help understanding for homework. Thank you for your he.

    A: Since you have posted a question with a multiple sub parts, we will solve first three sub - parts fo.

    Q: Write down three common applications of an oscilloscope.

    A: An oscilloscope, is a type of electronic test instrument that graphically displays varying signal vo.

    Q: Thanks in Advance!! 40) If something weighs 96N on earth, what will be its weight in Newton on the m.

    A: 40) Given data The weight of the object on earth is given as W = 96 N. The relational between gravi.

    Q: An electrician experienced a mild shock when he accidentally touched a wire carrying 5.0 mA for appr.

    R : Cliquez pour voir la réponse

    Q: Categorize each of the following as a physical or chemical change. Explain your reasoning: a) Squeez.

    A: The problem is based on physical and chemical change. Phycisal changes are that changes where the ch.

    Q: When a current flows in an aluminum wire of diameter 4.67 mm,4.67 mm, the drift speed of the conduct.

    A: Radius of the aluminium wire(r)=Diameter of the wire2=4.67×10-32=2.335×10-3mArea of the wire(A)=πr2=.

    Q: A large ship displace can displace a maximum of 12,000 m3 of sea water, how much load (in kg) can it.


    12.4E: Exercises for Section 12.4

    (a) Guidance regarding tailoring of the paragraphs in the clause at 52.212-4, Contract Terms and Conditions&mdashCommercial Items, when the paragraphs do not reflect the customary practice for a particular market and

    (b) Guidance on the administration of contracts for commercial items in those areas where the terms and conditions in 52.212-4 differ substantially from those contained elsewhere in the FAR.

    12.402 Acceptance.

    (a) The acceptance paragraph in 52.212-4 is based upon the assumption that the Government will rely on the contractor&rsquos assurances that the commercial item tendered for acceptance conforms to the contract requirements. The Government inspection of commercial items will not prejudice its other rights under the acceptance paragraph. Additionally, although the paragraph does not address the issue of rejection, the Government always has the right to refuse acceptance of nonconforming items. This paragraph is generally appropriate when the Government is acquiring noncomplex commercial items.

    (b) Other acceptance procedures may be more appropriate for the acquisition of complex commercial items or commercial items used in critical applications. In such cases, the contracting officer shall include alternative inspection procedure(s) in an addendum and ensure these procedures and the postaward remedies adequately protect the interests of the Government. The contracting officer must carefully examine the terms and conditions of any express warranty with regard to the effect it may have on the Government&rsquos available postaward remedies (see 12.404).

    (c) The acquisition of commercial items under other circumstances such as on an &ldquoas is&rdquo basis may also require acceptance procedures different from those contained in 52.212-4. The contracting officer should consider the effect the specific circumstances will have on the acceptance paragraph as well as other paragraphs of the clause.

    12.403 Termination.

    (une) Général. The clause at 52.212-4 permits the Government to terminate a contract for commercial items either for the convenience of the Government or for cause. However, the paragraphs in 52.212-4 entitled &ldquoTermination for the Government&rsquos Convenience&rdquo and &ldquoTermination for Cause&rdquo contain concepts which differ from those contained in the termination clauses prescribed in Part 49. Consequently, the requirements of Part 49 do not apply when terminating contracts for commercial items and contracting officers shall follow the procedures in this section. Contracting officers may continue to use Part 49 as guidance to the extent that Part 49 does not conflict with this section and the language of the termination paragraphs in 52.212-4.

    (b) Policy. The contracting officer should exercise the Government&rsquos right to terminate a contract for commercial items either for convenience or for cause only when such a termination would be in the best interests of the Government. The contracting officer should consult with counsel prior to terminating for cause.

    (1) The paragraph in 52.212-4 entitled &ldquoExcusable Delay&rdquo requires contractors notify the contracting officer as soon as possible after commencement of any excusable delay. In most situations, this requirement should eliminate the need for a show cause notice prior to terminating a contract. The contracting officer shall send a cure notice prior to terminating a contract for a reason other than late delivery.

    (2) The Government&rsquos rights after a termination for cause shall include all the remedies available to any buyer in the marketplace. The Government&rsquos preferred remedy will be to acquire similar items from another contractor and to charge the defaulted contractor with any excess reprocurement costs together with any incidental or consequential damages incurred because of the termination.

    (3) When a termination for cause is appropriate, the contracting officer shall send the contractor a written notification regarding the termination. At a minimum, this notification shall&mdash

    (i) Indicate the contract is terminated for cause

    (ii) Specify the reasons for the termination

    (iii) Indicate which remedies the Government intends to seek or provide a date by which the Government will inform the contractor of the remedy and

    (iv) State that the notice constitutes a final decision of the contracting officer and that the contractor has the right to appeal under the Disputes clause (see 33.211).

    (4) The contracting officer, in accordance with agency procedures, shall ensure that information related to termination for cause notices and any amendments are reported. In the event the termination for cause is subsequently converted to a termination for convenience, or is otherwise withdrawn, the contracting officer shall ensure that a notice of the conversion or withdrawal is reported. All reporting shall be in accordance with 42.1503(h).

    (d) Termination for the Government&rsquos convenience.

    (1) When the contracting officer terminates a contract for commercial items for the Government&rsquos convenience, the contractor shall be paid&mdash

    (A) The percentage of the contract price reflecting the percentage of the work performed prior to the notice of the termination for fixed-price or fixed-price with economic price adjustment contracts or

    (B) An amount for direct labor hours (as defined in the Schedule of the contract) determined by multiplying the number of direct labor hours expended before the effective date of termination by the hourly rate(s) in the Schedule and

    (ii) Any charges the contractor can demonstrate directly resulted from the termination. The contractor may demonstrate such charges using its standard record keeping system and is not required to comply with the cost accounting standards or the contract cost principles in Part 31. The Government does not have any right to audit the contractor&rsquos records solely because of the termination for convenience.

    (2) Generally, the parties should mutually agree upon the requirements of the termination proposal. The parties must balance the Government&rsquos need to obtain sufficient documentation to support payment to the contractor against the goal of having a simple and expeditious settlement.

    12.404 Warranties.

    (une) Implied warranties. The Government&rsquos post award rights contained in 52.212-4 are the implied warranty of merchantability, the implied warranty of fitness for particular purpose and the remedies contained in the acceptance paragraph.

    (1) The implied warranty of merchantability provides that an item is reasonably fit for the ordinary purposes for which such items are used. The items must be of at least average, fair or medium-grade quality and must be comparable in quality to those that will pass without objection in the trade or market for items of the same description.

    (2) The implied warranty of fitness for a particular purpose provides that an item is fit for use for the particular purpose for which the Government will use the items. The Government can rely upon an implied warranty of fitness for particular purpose when&mdash

    (i) The seller knows the particular purpose for which the Government intends to use the item and

    (ii) The Government relied upon the contractor&rsquos skill and judgment that the item would be appropriate for that particular purpose.

    (3) Contracting officers should consult with legal counsel prior to asserting any claim for a breach of an implied warranty.

    (b) Express warranties. 41 U.S.C. 3307(e)(5)(B) requires contracting officers to take advantage of commercial warranties. To the maximum extent practicable, solicitations for commercial items shall require offerors to offer the Government at least the same warranty terms, including offers of extended warranties, offered to the general public in customary commercial practice. Solicitations may specify minimum warranty terms, such as minimum duration, appropriate for the Government&rsquos intended use of the item.

    (1) Any express warranty the Government intends to rely upon must meet the needs of the Government. The contracting officer should analyze any commercial warranty to determine if&mdash

    (i) The warranty is adequate to protect the needs of the Government, e.g., items covered by the warranty and length of warranty

    (ii) The terms allow the Government effective postaward administration of the warranty to include the identification of warranted items, procedures for the return of warranted items to the contractor for repair or replacement, and collection of product performance information and

    (iii) The warranty is cost-effective.

    (2) In some markets, it may be customary commercial practice for contractors to exclude or limit the implied warranties contained in 52.212-4 in the provisions of an express warranty. In such cases, the contracting officer shall ensure that the express warranty provides for the repair or replacement of defective items discovered within a reasonable period of time after acceptance.

    (3) Express warranties shall be included in the contract by addendum (see 12.302).