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10.2 : Pente en coordonnées polaires - Mathématiques


Lorsque nous décrivons une courbe en coordonnées polaires, il s'agit toujours d'une courbe dans le plan(x-y). Nous aimerions pouvoir calculer les pentes et les aires de ces courbes en utilisant les coordonnées polaires.

Nous avons vu que (x=rcos heta) et (y=rsin heta) décrivent la relation entre les coordonnées polaires et rectangulaires. Si à son tour on s'intéresse à une courbe donnée par (r=f( heta)), alors on peut écrire (x=f( heta)cos heta) et (y=f( theta)sin heta), décrivant (x) et (y) en termes de ( heta) seul. La première de ces équations décrit ( heta) implicitement en termes de (x), donc en utilisant la règle de la chaîne, nous pouvons calculer

[{dyover dx}={dyover d heta}{d hetaover dx}.]

Puisque (d heta/dx=1/(dx/d heta)), nous pouvons à la place calculer

[ {dyover dx}={dy/d hetaover dx/d heta}= {f( heta)cos heta + f'( heta)sin hetaover -f( heta)sin heta + f'( heta)cos heta}. ]

Exemple (PageIndex{1}) :

Trouvez les points auxquels la courbe donnée par (r=1+cos heta) a une ligne tangente verticale ou horizontale. Puisque cette fonction a une période (2pi), nous pouvons restreindre notre attention à l'intervalle ([0,2pi)) ou ((-pi,pi]), selon la commodité. On calcule d'abord la pente :

[ {dyover dx}={(1+cos heta)cos heta-sin hetasin hetaover -(1+cos heta)sin heta-sin thetacos heta}= {cos heta+cos^2 heta-sin^2 hetaover -sin heta-2sin hetacos heta}. ]

Cette fraction est nulle lorsque le numérateur est nul (et le dénominateur n'est pas nul). Le numérateur est (2cos^2 heta+cos heta-1) donc par la formule quadratique $$ cos heta={-1pmsqrt{1+4cdot2}over 4} = -1 quadhbox{ou}quad {1sur 2}. $$ Cela signifie que ( heta) est (pi) ou (pm pi/3). Cependant, lorsque ( heta=pi), le dénominateur est également (0), nous ne pouvons donc pas conclure que la ligne tangente est horizontale.

En mettant le dénominateur à zéro, nous obtenons $$eqalign{ - heta-2sin hetacos heta &= 0cr sin heta(1+2cos heta)&=0,cr} $$ donc soit (sin heta=0) soit (cos heta=-1/2). La première est vraie lorsque ( heta) est (0) ou (pi), la seconde lorsque ( heta) est (2pi/3) ou (4pi/ 3). Cependant, comme ci-dessus, lorsque ( heta=pi), le numérateur est également (0), nous ne pouvons donc pas conclure que la ligne tangente est verticale. Chiffre 10.2.1 montre les points correspondant à ( heta) égal à (0), (pmpi/3), (2pi/3) et (4pi/3) sur le graphique de la fonction. Notez que lorsque ( heta=pi) la courbe atteint l'origine et n'a pas de ligne tangente.

Figure 10.2.1. Points de tangence verticale et horizontale pour (r=1+cos heta).

Nous savons que la dérivée seconde (f''(x)) est utile pour décrire des fonctions, c'est-à-dire pour décrire la concavité. Nous pouvons également calculer (f''(x)) en termes de coordonnées polaires. On sait déjà écrire (dy/dx=y') en termes de ( heta), alors

[ {dover dx}{dyover dx}= {dy'over dx}={dy'over d heta}{d hetaover dx}={dy'/d hetaover dx/d heta}.]

L'ellipse représente ici une quantité assez substantielle d'algèbre. On sait d'en haut que la cardioïde a des tangentes horizontales à (pm pi/3); en substituant ces valeurs dans la dérivée seconde, nous obtenons ( y''(pi/3)=-sqrt{3}/2) et ( y''(-pi/3)=sqrt{3} /2), indiquant respectivement le concave vers le bas et le concave vers le haut. Ceci est en accord avec le graphique de la fonction.


10.2 : Pente en coordonnées polaires - Mathématiques

Nous avons vu que certaines fonctions peuvent être représentées sous forme de séries, ce qui peut donner des informations précieuses sur la fonction. Jusqu'à présent, nous n'avons vu que les exemples résultant de la manipulation de notre exemple fondamental, la série géométrique. Nous aimerions partir d'une fonction donnée et produire une série pour la représenter, si possible.

Supposons que $ds f(x)=sum_^infty a_nx^n$ sur un intervalle de convergence. On sait alors que l'on peut calculer des dérivées de $f$ en prenant des dérivées des termes de la série. Regardons les premiers en général : $eqalign< f'(x)&=sum_^infty n a_n x^=a_1 + 2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+cdotscr f''(x)&=sum_^infty n(n-1) a_n x^=2a_2+3cdot2a_3x +4cdot3a_4x^2+cdotscr f'''(x)&=sum_^infty n(n-1)(n-2) a_n x^=3cdot2a_3 +4cdot3cdot2a_4x+cdotscr >$ En les examinant, il n'est pas difficile de discerner le modèle général. La $k$ième dérivée doit être $eqalign< f^<(k)>(x)&=sum_^infty n(n-1)(n-2)cdots(n-k+1)a_nx^cr &=k(k-1)(k-2)cdots(2)(1)a_k+(k+1)(k)cdots(2)a_x+<>cr &qquad <>+(k+2)(k+1)cdots(3)a_x^2+cdotscr >$ Nous pouvons réduire un peu cela en utilisant la notation factorielle : $ f^<(k)>(x)=sum_^infty a_nx^= k!a_k+(k+1)!a_x+<(k+2)!sur 2!>a_x^2+cdots $ Remplacez maintenant $x=0$ : $f^<(k)>(0)=k!a_k+sum_^infty a_n0^=k!a_k,$ et résolvez pour $ds a_k$ : $a_k=(0)over k!>.$ Notez le cas particulier, obtenu à partir de la série pour $f$ elle-même, qui donne $ds f(0)=a_0$.

Donc, si une fonction $f$ peut être représentée par une série, nous savons exactement de quelle série il s'agit. Étant donné une fonction $f$, la série $sum_^infty (0)sur n!>x^n$ est appelé le Série Maclaurin pour $f$.

Exemple 11.10.1 Trouvez la série de Maclaurin pour $f(x)=1/(1-x)$. Nous devons calculer les dérivées de $f$ (et espérer repérer un motif). $eqalign< f(x)&=(1-x)^<-1>cr f'(x)&=(1-x)^<-2>cr f''(x)&=2 (1-x)^<-3>cr f'''(x)&=6(1-x)^<-4>cr f^<(4)>(x)&=4!(1 -x)^<-5>cr &vdotscr f^<(n)>(x)&=n!(1-x)^<-n-1>cr >$ So $(0)sur n!>=over n!>=1$ et la série Maclaurin est $sum_^infty 1cdot x^n=sum_^infty x^n,$ la série géométrique.

Un avertissement s'impose ici. Étant donné une fonction $f$, nous pouvons peut-être calculer la série de Maclaurin, mais cela ne signifie pas que nous avons trouvé une représentation en série pour $f$. Encore faut-il savoir où converge la série, et si, là où elle converge, elle converge vers $f(x)$. Alors que pour les fonctions les plus couramment rencontrées, la série de Maclaurin converge effectivement vers $f$ sur un intervalle, ce n'est pas vrai pour toutes les fonctions, il faut donc faire attention.

En pratique, si nous souhaitons utiliser une série pour approximer une fonction, nous aurons besoin d'un nombre fini de termes de la série. Même pour les fonctions avec des dérivés désordonnés, nous pouvons les calculer en utilisant un logiciel informatique comme Sage. Si nous voulons connaître toute la série, c'est-à-dire un terme typique de la série, nous avons besoin d'une fonction dont les dérivées tombent dans un motif que nous pouvons discerner. Certaines des fonctions les plus importantes sont heureusement très simples.

Exemple 11.10.2 Trouvez la série de Maclaurin pour $sin x$.

Les dérivées sont assez simples : $f'(x)=cos x$, $f''(x)=-sin x$, $f'''(x)=-cos x$, $ds f^<(4)>(x)=sin x$, puis le motif se répète. On veut connaître les dérivées à zéro : 1, 0, $-1$, 0, 1, 0, $-1$, 0,&hellip, et donc la série de Maclaurin est $ x-+-cdots= somme_^infty (-1)^nover (2n+1)!>. $ On doit toujours déterminer le rayon de convergence : $ lim_ <|x|^<2n+3>over (2n+3)!><(2n+1)!over |x|^<2n+1>> =lim_ <|x|^2over (2n+3)(2n+2)>=0, $ donc la série converge pour chaque $x$. Puisqu'il s'avère que cette série converge effectivement vers $sin x$ partout, nous avons une représentation en série de $sin x$ pour chaque $x$.

Parfois, la formule de la $n$ième dérivée d'une fonction $f$ est difficile à découvrir, mais une combinaison d'une série de Maclaurin connue et de quelques manipulations algébriques conduit facilement à la série de Maclaurin pour $f$.

Exemple 11.10.3 Trouvez la série de Maclaurin pour $xsin(-x)$.

Pour passer de $sin x$ à $xsin(-x)$, nous substituons $-x$ à $x$ puis multiplions par $x$. On peut faire la même chose avec la série pour $sin x$ : $ xsum_^infty (-1)^n<(-x)^<2n+1>over (2n+1)!> =xsum_^infty (-1)^(-1)^<2n+1>over (2n+1)!> =somme_^infty (-1)^over (2n+1)!>. $

Comme nous l'avons vu, une série de puissances générales peut être centrée en un point autre que zéro, et la méthode qui produit la série de Maclaurin peut également produire de telles séries.

Exemple 11.10.4 Trouvez une série centrée sur $-2$ pour $1/(1-x)$.

Si la série est $dssum_^infty a_n(x+2)^n$ puis en regardant la $k$ième dérivée : $k!(1-x)^<-k-1>=sum_^infty a_n(x+2)^$ et en remplaçant $x=-2$ nous obtenons $ds k!3^<-k-1>=k!a_k$ et $ds a_k=3^<-k-1>=1/3^$, donc la série est $sum_^infty <(x+2)^nsur 3^>.$ Nous l'avons déjà vu, dans la section 11.8.

Une telle série est appelée la Taylor série pour la fonction, et le terme général a la forme $(a)over n!>(x-a)^n.$ Une série de Maclaurin est simplement une série de Taylor avec $a=0$.


10.3 Coordonnées polaires (# 1)

Introduction: Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement des points à l'aide de coordonnées polaires. Nous allons également représenter graphiquement une variété de courbes polaires. Nous apprendrons également comment généraliser l'idée de la dérivée pour trouver la pente d'une courbe polaire. Cela nous permettra également de déterminer quand la ligne tangente est verticale ou horizontale.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Comprendre le système de coordonnées polaires.
  • Réécrivez les coordonnées rectangulaires et les équations sous forme polaire et vice versa.
  • Tracez le graphique d'une équation donnée sous forme polaire.
  • Trouvez la pente d'une droite tangente à un graphique polaire.
  • Identifier plusieurs types de graphiques polaires.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (10-3-Coordonnées polaires) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez lire la section 10.3 et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même comme pratique. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Accédez à Web Assign et complétez l'attribution 𔄘.3 Polar Coordinates and Polar Graphs”.


10.3 Coordonnées polaires (# 1)

Introduction: Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement des points en utilisant des coordonnées polaires. Nous allons également représenter graphiquement une variété de courbes polaires. Nous apprendrons également comment généraliser l'idée de la dérivée pour trouver la pente d'une courbe polaire. Cela nous permettra également de déterminer quand la ligne tangente est verticale ou horizontale.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Comprendre le système de coordonnées polaires.
  • Réécrivez les coordonnées rectangulaires et les équations sous forme polaire et vice versa.
  • Tracez le graphique d'une équation donnée sous forme polaire.
  • Trouvez la pente d'une droite tangente à un graphique polaire.
  • Identifier plusieurs types de graphiques polaires.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (10-3-Coordonnées polaires) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez lire la section 10.3 et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même comme pratique. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

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Problèmes de pratique : # 1-11 cotes, 15-25 cotes, 29-43 cotes

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10.3 Coordonnées polaires (# 2)

Introduction: Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement des points à l'aide de coordonnées polaires. Nous allons également représenter graphiquement une variété de courbes polaires. Nous apprendrons également comment généraliser l'idée de la dérivée pour trouver la pente d'une courbe polaire. Cela nous permettra également de déterminer quand la ligne tangente est verticale ou horizontale.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Comprendre le système de coordonnées polaires.
  • Réécrivez les coordonnées rectangulaires et les équations sous forme polaire et vice versa.
  • Tracez le graphique d'une équation donnée sous forme polaire.
  • Trouvez la pente d'une droite tangente à un graphique polaire.
  • Identifier plusieurs types de graphiques polaires.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (10-3-Coordonnées polaires-2) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez lire la section 10.3 et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même comme pratique. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Accédez à Web Assign et complétez l'attribution 𔄘.3 Polar Coordinates and Polar Graphs”.


Chapitre 10 Examen final

Introduction: Dans cette leçon, nous verrons comment tracer des courbes paramétriques et comment généraliser le calcul que nous connaissons aux courbes définies de manière paramétrique. Nous allons trouver les pentes des lignes tangentes, déterminer où la ligne tangente est verticale et horizontale, comment trouver les zones sous les courbes, les surfaces et la longueur de l'arc. Nous verrons également comment représenter graphiquement les coordonnées polaires et les courbes polaires. Nous passerons ensuite en revue la façon dont nous trouvons les pentes, les aires, les longueurs d'arc et les surfaces des courbes polaires.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Tracez des courbes paramétriques et, le cas échéant, éliminez le paramètre pour trouver une équation cartésienne de la courbe.
  • Trouvez les pentes des lignes tangentes, les zones sous les courbes, la longueur de l'arc et les surfaces des courbes définies paramétriquement.
  • Représentez graphiquement les coordonnées polaires et les courbes polaires.
  • Trouvez des pentes, des surfaces, des longueurs d'arc et des surfaces de courbes polaires.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (Chapitre 10-Révision finale) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez revoir le chapitre 10 (ou vos notes de ce chapitre) et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même comme pratique. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Pour cette leçon, il n'y a pas de devoir WebAssign. Comme vous n'avez pas encore passé d'examen couvrant cette matière, je vous demande de faire un test pratique pour cette leçon de révision en plus de la finale pratique. Le revoilà : Chapitre 10-Examen-Pratique. En plus de l'examen pratique, je suggère également de compléter les problèmes de révision suivants trouvés à la fin du chapitre 10 dans votre texte.

Problèmes de pratique : Chapitre 10 Exercices de révision # 1-4 tous, 9-13 cotes, 17, 21-25 cotes, 33-39 cotes


Pente de la trajectoire orthogonale en coordonnées polaires (par rapport à la pente de la trajectoire orthogonale dans le plan $xy$)

Pour trouver les trajectoires orthogonales d'une famille de courbes dans le plan $xy$, nous procédons comme suit :

  1. Différencier l'équation de la famille de courbes par rapport aux variables indépendantes, ce qui nous donne la pente de la famille de courbes
  2. Élimine le paramètre (s'il n'a pas déjà été éliminé lors de la différenciation)
  3. Réorganiser pour obtenir la forme $dfrac= f(x, y)$
  4. Prenons l'inverse négatif de $dfracimplique dfrac<-dx>= f(x, y)$, ce qui nous donne la pente des trajectoires orthogonales
  5. Résoudre l'équation différentielle en utilisant la séparation des variables ou une autre méthode. Cela nous donne l'équation des trajectoires orthogonales.

Dans ma question précédente (connexe), j'ai mentionné un problème particulier dans mon manuel, "Équations différentielles avec applications et notes historiques, 3e édition", par Simmons et Finlay, où les auteurs ont utilisé des coordonnées polaires pour résoudre le problème des trajectoires orthogonales. Dans la question susmentionnée, j'ai découvert que la raison de ma confusion était que la pente des trajectoires orthogonales dans forme polaire est différent de la pente des trajectoires orthogonales dans le plan xy: La pente des trajectoires orthogonales dans le plan xy, comme mentionné précédemment, est l'inverse négatif de $dfrac implique dfrac<-dx> = f(x, y)$, tandis que la pente des trajectoires orthogonales dans forme polaire est l'inverse négatif de $dfrac<1>dfrac implies -rdfrac = f(r, heta)$. En d'autres termes, et plus généralement, nous pouvons voir que la façon dont nous obtenons la pente des trajectoires orthogonales (normales) (vecteurs) sous forme polaire est différente de celle dans le $xy$-plan.

Ma confusion initiale venait de ce fait qu'avec des coordonnées polaires, on ne prend pas seulement l'inverse négatif de l'opérateur $dfrac$, mais aussi l'inverse négatif de $dfrac <1>$ avec elle. Cette différence n'était pas mentionnée dans le manuel le seul cas qui a été mentionné était celui de traiter avec l'opérateur $dfrac = f(x, y)$ -- coordonnées du plan xy.

J'apprécierais beaucoup si les gens pouvaient prendre le temps de poster une preuve étape par étape qui montre clairement que, contrairement à la trajectoire orthogonale dans le plan $xy$, la trajectoire orthogonale sous forme polaire est trouvée en prenant le négatif réciproque de $dfrac implies -rdfrac = f(r, heta)$. Mon but est de me convaincre que c'est vrai -- que la façon dont nous obtenons la pente pour les trajectoires orthogonales est différente entre les équations utilisant des coordonnées dans le plan xy $left( dfrac implique dfrac<-dx> = f(x, y) ight)$ et ceux utilisant des coordonnées sous forme polaire $left( dfrac<1>dfrac implies -rdfrac = f(r, heta) ight)$.


10.2 : Pente en coordonnées polaires - Mathématiques

1. Trouvez la ligne tangente à (r = sin left( <4 heta > ight)cos left( heta ight)) à (displaystyle heta = frac <6>).

Afficher toutes les étapes Masquer toutes les étapes

Tout d'abord, nous aurons besoin de la dérivée suivante,

[frac<><> = 4cos left( <4 heta > ight)cos left( heta ight) - sin left( <4 heta > ight)sin left( heta ight) ] Afficher l'étape 2

Ensuite, en utilisant la formule des notes sur cette section, nous avons,

C'est un dérivé très compliqué (c'est souvent le cas) et, au moins dans ce cas, il n'y a pas beaucoup de simplification que nous pouvons faire…

Ensuite, nous devrons évaluer à la fois la dérivée de l'étape précédente ainsi que (r) à ( heta = frac<6>).

Vous pouvez voir pourquoi nous avons besoin des deux, n'est-ce pas ?

Enfin, nous avons besoin des coordonnées (x) et (y) auxquelles nous serons lorsque ( heta = frac<6>). Ces valeurs sont assez faciles à trouver étant donné que nous savons ce qu'est (r) à ce stade et que nous connaissons également les formules de conversion des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes. Alors,

[x = rcos left( heta ight) = frac<3><4>cos left( <6>> ight) = frac<<3 sqrt 3 >> <8>hspace <0.75in>y = rsin left( heta ight) = frac<3><4>sin left( <6> > ight) = frac<3><8>]

Bien sûr, nous avons également la pente de la ligne tangente car il ne s'agit que de la valeur de la dérivée que nous avons calculée à l'étape précédente.


Chapitre 10 Examen final

Introduction: Dans cette leçon, nous verrons comment tracer des courbes paramétriques et comment généraliser le calcul que nous connaissons aux courbes définies de manière paramétrique. Nous allons trouver les pentes des lignes tangentes, déterminer où la ligne tangente est verticale et horizontale, comment trouver les zones sous les courbes, les surfaces et la longueur de l'arc. Nous verrons également comment représenter graphiquement les coordonnées polaires et les courbes polaires. Nous passerons ensuite en revue la façon dont nous trouvons les pentes, les aires, les longueurs d'arc et les surfaces des courbes polaires.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Tracez des courbes paramétriques et, le cas échéant, éliminez le paramètre pour trouver une équation cartésienne de la courbe.
  • Trouvez les pentes des lignes tangentes, les zones sous les courbes, la longueur de l'arc et les surfaces des courbes définies paramétriquement.
  • Représentez graphiquement les coordonnées polaires et les courbes polaires.
  • Trouvez des pentes, des surfaces, des longueurs d'arc et des surfaces de courbes polaires.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (Chapitre 10-Révision finale) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez revoir le chapitre 10 (ou vos notes de ce chapitre) et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même comme pratique. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Pour cette leçon, il n'y a pas de devoir WebAssign. Comme vous n'avez pas encore passé d'examen couvrant cette matière, je vous demande de faire un test pratique pour cette leçon de révision en plus de la finale pratique. Le revoilà : Chapitre 10-Examen-Pratique. En plus de l'examen pratique, je suggère également de compléter les problèmes de révision suivants trouvés à la fin du chapitre 10 dans votre texte.

Problèmes de pratique : Chapitre 10 Exercices de révision # 1-4 tous, 9-13 cotes, 17, 21-25 cotes, 33-39 cotes


Coordonnées polaires, sphériques et géographiques

Lors de la recherche pour la nouvelle bibliothèque mathématique VL, le sujet des coordonnées polaires, sphériques et géographiques a été abordé. Après avoir lu plusieurs articles, il était clair qu'il existait une confusion courante concernant la convention d'angle, l'orientation et la dénomination.

Cet article de blog part de la définition officielle dans les manuels de mathématiques et dérive les implémentations correctes dans un système de coordonnées pour gauchers avec l'axe des y vers le haut comme celui de DirectX.

Les systèmes de coordonnées polaires et sphériques font le même travail que le bon vieux système de coordonnées cartésiennes que vous avez toujours détesté à l'école. Il décrit chaque point sur un plan ou dans l'espace par rapport à une origine O par un vecteur. Mais au lieu de 3 directions perpendiculaires xyz, il utilise la distance depuis l'origine et les angles pour identifier une position.

Conventions

Dans les descriptions suivantes, les unités d'angle sont le degré et les systèmes de coordonnées cartésiennes et les dessins sont ceux que vous trouverez dans les manuels de mathématiques.

En 2D, la définition est simple. Une position est définie par la distance à l'origine et un angle. Nous avons juste besoin de :

Pour des raisons pratiques, les mathématiciens placent l'origine à la même position que dans le système cartésien et la direction de référence est l'axe des x positif :

Puis la conversion à partir d'un vecteur cartésien (x, y) d'une position P aux coordonnées polaires (rayon, angle) est :

Ici, une vitesse angulaire positive déplace la position dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sur un cercle :

Notez que de nombreux systèmes de coordonnées d'infographie 2D ont l'axe y pointant vers le bas de sorte que tout est inversé. Dans ce cas, en utilisant les mêmes calculs que ci-dessus, une vitesse angulaire positive déplace la position dans le sens des aiguilles d'une montre.

Pour obtenir le même comportement dans un système cartésien 2D avec l'axe des y vers le bas, les calculs seraient :

Pour définir un point dans l'espace par des coordonnées sphériques la distance à l'origine O ainsi que deux angles sont nécessaires. La confusion commence ici puisque de nombreuses conventions pour la notation et l'ordre des angles existent. Cette page en répertorie la plupart :http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Mais prenons du recul et regardons ce dont nous avons besoin pour définir les coordonnées sphériques. Nous verrons que quelle que soit la notation la formule réelle pour le calcul est la même :

  • l'origine O
  • pour un angle, nous avons besoin d'un axe orienté qui définit les pôles (comme les pôles nord et sud de la terre), cet angle est souvent appelé angle polaire, angle zénithal, colatitude, inclinaison ou élévation
  • pour l'autre angle nous avons besoin d'une direction de référence dans le plan équatorial, cet angle est appelé angle azimutal

L'origine est également la même que celle du système cartésien. Traditionnellement, les mathématiciens choisissent l'axe z comme axe polaire et le plan xy comme plan équatorial avec la direction de référence comme axe x positif :

Les formules de conversion sont alors :

Comme vous pouvez le voir sur le dessin, si l'angle polaire est 0, le vecteur pointe vers l'axe z positif et l'angle azimutal n'a aucun effet car il ne fait que rouler le vecteur autour de l'axe z.

La vitesse polaire positive éloigne le point du pôle à z positif vers x positif.
La vitesse azimutale positive déplace le point de x positif vers y positif.

Le dessin utilise un système droitier avec l'axe z vers le haut, ce qui est courant dans les manuels de mathématiques. Comme dans le cas 2d, il semble différent en fonction de l'orientation de l'axe xyz du système de coordonnées cartésiennes dans lequel la position sera affichée.

Les coordonnées géographiques

La définition des coordonnées sphériques présente deux inconvénients. Tout d'abord, l'angle polaire doit avoir une valeur autre que 0° (ou 180°) pour permettre à la valeur azimutale d'avoir un effet. Deuxièmement, le système géographique de latitude et de longitude ne correspond pas aux deux angles.

Afin de faire correspondre les angles sphériques à la latitude et à la longitude, l'angle polaire doit avoir une valeur de 90°. Ensuite, le vecteur de position pointe vers l'axe des x positif dans le plan équatorial qui correspond à une latitude de 0° et une longitude de 0°.

Les directions angulaires de latitude et de longitude sont les mêmes. La conversion est donc assez simple :

Avec les substitutions trigonométriques, une conversion directe entre les coordonnées géographiques et cartésiennes peut être dérivée :

Implémentation pour la LV

VL suppose que l'utilisateur travaille dans un système de coordonnées cartésiennes gaucher avec l'axe des y vers le haut qui est couramment utilisé avec DirectX. Cela signifie que toutes les images et directions ci-dessus seraient en quelque sorte tournées et inversées lorsqu'elles sont utilisées dans un tel système de coordonnées. Mais ce n'est bien sûr pas ce que nous voulons. Le pôle nord d'une sphère doit toujours être vers le haut et les directions angulaires des angles doivent également être les mêmes que ci-dessus.

La conversion d'un vecteur entre les systèmes n'est pas très compliquée :

La solution la plus simple serait de convertir le vecteur avant ou après le calcul, mais on peut aussi appliquer la conversion aux formules. On obtient alors pour les coordonnées sphériques :


Voir la vidéo: GTK ST USTHB physique EX2 coordonnées polaire partie 1 (Décembre 2021).