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5.5 : Transformations un à un et en sur


Objectifs d'apprentissage

  1. Déterminez si une transformation linéaire est sur ou un à un.

Soit (T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) une transformation linéaire. Nous définissons le gamme ou alors image de (T) comme l'ensemble des vecteurs de (mathbb{R}^{m}) qui sont de la forme (T left(vec{x} ight)) (équivalent, (Avec{x})) pour certains (vec{x}in mathbb{R}^{n}). Il est courant d'écrire (Tmathbb{R}^{n}), (Tleft( mathbb{R}^{n} ight)), ou (mathrm{Im} left( T ight)) pour désigner ces vecteurs.

Lemme (PageIndex{1}): Plage d'une transformation matricielle

Soit (A) une matrice (m imes n) où (A_{1},cdots , A_{n}) désignent les colonnes de (A.) Alors, pour un vecteur (vec{x}=left [ egin{array}{c} x_{1} vdots x_{n} end{array} ight ]) dans (mathbb{R} ^n),

[Avec{x}=sum_{k=1}^{n}x_{k}A_{k}]

Par conséquent, (A left( mathbb{R}^n ight)) est la collection de toutes les combinaisons linéaires de ces produits.

Preuve

Cela découle de la définition de la multiplication matricielle.

Cette section est consacrée à l'étude de deux caractérisations importantes des transformations linéaires, appelées un à un et sur. Nous les définissons maintenant.

Définition (PageIndex{1}) : un à un

Supposons que (vec{x}_1) et (vec{x}_2) soient des vecteurs dans (mathbb{R}^n). Une transformation linéaire (T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) est appelée Un par un (souvent écrit (1-1)) si chaque fois que (vec{x}_1 eq vec{x}_2) il s'ensuit que : [Tleft( vec{x}_1 ight ) eq T left(vec{x}_2 ight)]

De manière équivalente, si (Tleft( vec{x}_1 ight) =Tleft( vec{x}_2 ight) ,) alors (vec{x}_1 = vec{x} _2). Ainsi, (T) est un à un s'il ne prend jamais deux vecteurs différents au même vecteur.

La deuxième caractérisation importante est invoquée.

Définition (PageIndex{2}) : sur

Soit (T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) une transformation linéaire. Alors (T) est appelé sur si à chaque fois (vec{x}_2 in mathbb{R}^{m}) il existe (vec{x}_1 in mathbb{R}^{n}) tel que ( Tgauche( vec{x}_1 ight) = vec{x}_2.)

Nous appelons souvent une transformation linéaire qui est un à un un injection. De même, une transformation linéaire qui est sur est souvent appelée un surjection.

La proposition suivante est un résultat important.

Théorème (PageIndex{1}) : un à un

Soit (T:mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) une transformation linéaire. Alors (T) est un à un si et seulement si (T(vec{x}) = vec{0}) implique (vec{x}=vec{0}).

Preuve

Nous devons prouver deux choses ici. Tout d'abord, nous allons prouver que si (T) est un pour un, alors (T(vec{x}) = vec{0}) implique que (vec{x}=vec{0 }). Deuxièmement, nous montrerons que si (T(vec{x})=vec{0}) implique que (vec{x}=vec{0}), alors il s'ensuit que (T ) est un à un. Rappelez-vous qu'une transformation linéaire a la propriété que (T(vec{0}) = vec{0}).

Supposons d'abord que (T) est un à un et considérons (T(vec{0})). [T(vec{0})=Tgauche( vec{0}+vec{0} ight) =T(vec{0})+T(vec{0})] et ainsi, en ajoutant l'inverse additif de (T(vec{0})) des deux côtés, on voit que (T(vec{0})=vec{0}). Si (T(vec{x})=vec{0}) ce doit être le cas que (vec{x}=vec{0}) car on vient de montrer que (T( vec{0})=vec{0}) et (T) est supposé être un à un.

Supposons maintenant que si (T(vec{x})=vec{0},) alors il s'ensuit que (vec{x}=vec{0}.) Si (T(vec {v})=T(vec{u}),) puis [T(vec{v})-T(vec{u})=Tleft( vec{v}-vec{ u} ight) =vec{0}] qui montre que (vec{v}-vec{u}=0). En d'autres termes, (vec{v}=vec{u}), et (T) est un à un.

Notez que cette proposition dit que si (A=left [ egin{array}{ccc} A_{1} & cdots & A_{n} end{array} ight ]) alors (A) est un à un si et seulement si chaque fois que [0 = sum_{k=1}^{n}c_{k}A_{k}] il s'ensuit que chaque scalaire (c_{k}=0).

Nous allons maintenant examiner un exemple de transformation un à un et linéaire.

Exemple (PageIndex{1}) : une transformation un à un et sur linéaire

Supposons [Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{rr} 1 & 1 1 & 2 end{ array} ight ] left [ egin{array}{r} x y end{array} ight ]] Ensuite, (T:mathbb{R}^{2} ightarrow mathbb{ R}^{2}) est une transformation linéaire. Est (T) sur ? Est-ce un à un ?

Solution

Rappelons que parce que (T) peut être exprimé sous forme de multiplication matricielle, nous savons que (T) est une transformation linéaire. Nous commencerons par regarder sur. Supposons donc (left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] in mathbb{R}^{2}.) Existe-t-il (left [ begin{array}{c} x y end{array} ight ] in mathbb{R}^2) tel que (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ] ?) Si oui, alors depuis (left [ egin{array} {c} a b end{array} ight ]) est un vecteur arbitraire dans (mathbb{R}^{2},) il s'ensuit que (T) est sur.

Cette question vous est familière. Il demande s'il existe une solution à l'équation [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c } x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ]] C'est la même chose que demander une solution à le système d'équations suivant. [egin{array}{c} x+y=a x+2y=b end{array}] Configurez la matrice augmentée et la réduction de ligne. [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 1 & a 1 & 2 & b end{array} ight ] ightarrow left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2a-b 0 & 1 & ba end{array} ight ] label{ontomatrix}] Vous pouvez voir à partir de ce point que le système a une solution. Par conséquent, nous avons montré que pour tout (a, b), il existe un (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) tel que ( Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{c} a b end{array} ight ]) . Ainsi (T) est sur.

Maintenant, nous voulons savoir si (T) est un à un. Par la proposition [prop:onetoonematrices] il suffit de montrer que (Avec{x}=0) implique (vec{x}=0). Considérons le système (Avec{x}=0) donné par : [left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]]

C'est le même que le système donné par

[egin{array}{c} x + y = 0 x + 2y = 0 end{array}]

Nous devons montrer que la solution de ce système est (x = 0) et (y = 0). En mettant en place la matrice augmentée et la réduction des lignes, on obtient [left [ egin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end{array} ight ] ]

Cela nous dit que (x = 0) et (y = 0). Pour en revenir au système d'origine, cela dit que si

[left [ egin{array}{cc} 1 & 1 1 & 2 end{array} ight ] left [ egin{array}{c} x y end{array } ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]]

then [left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ] ]

En d'autres termes, (Avec{x}=0) implique que (vec{x}=0). Par la proposition [prop:onetoonematrices], (A) est un à un, et donc (T) est aussi un à un.

Nous aurions également pu voir que (T) est un à un de notre solution ci-dessus pour sur. En regardant la matrice donnée par [ontomatrix], vous pouvez voir qu'il existe un unique solution donnée par (x=2a-b) et (y=b-a). Par conséquent, il n'y a qu'un seul vecteur, spécifiquement (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 2a-b ba end{array} ight ]) tel que (Tleft [ egin{array}{c} x y end{array} ight ] =left [ egin{array}{ c} a b end{array} ight ]). Par conséquent, par définition [def:onetoone], (T) est un à un.

Exemple (PageIndex{2}) : une transformation en continu

Soit (T: mathbb{R}^4 mapsto mathbb{R}^2) une transformation linéaire définie par [T left [ egin{array}{c} a b c d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ pour tous } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] Prouver que (T) est sur mais pas un à un.

Solution

Vous pouvez prouver que (T) est en fait linéaire.

Pour montrer que (T) est sur, soit (left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]) un vecteur arbitraire dans (mathbb{R }^2). En prenant le vecteur (left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] in mathbb{R}^4) nous avons [T left [ egin{array}{c} x y 0 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x + 0 y + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} x y end{array} ight ]] Cela montre que (T) est sur.

Par proposition [prop:onetoonematrices] (T) est un à un si et seulement si (T(vec{x}) = vec{0}) implique que (vec{x} = vec {0}). Observez que [T left [ egin{array}{r} 1 0 0 -1 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 1 + - 1 0 + 0 end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} 0 0 end{array} ight ]] Il existe un vecteur non nul (vec{ x}) dans (mathbb{R}^4) tel que (T(vec{x}) = vec{0}). Il s'ensuit que (T) n'est pas un à un.

Les exemples ci-dessus illustrent une méthode pour déterminer si une transformation linéaire (T) est un à un ou sur. Il s'avère que la matrice (A) de (T) peut fournir cette information.

Théorème (PageIndex{2}): Matrice d'une transformation un à un ou sur

Soit (T: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) une transformation linéaire induite par la matrice (m imes n) (A). Alors (T) est un à un si et seulement si le rang de (A) est (n). (T) est sur si et seulement si le rang de (A) est (m).

Considérez l'exemple [exa:ontotransformation]. Ci-dessus, nous avons montré que (T) était sur mais pas un à un. Nous pouvons maintenant utiliser ce théorème pour déterminer ce fait à propos de (T).

Exemple (PageIndex{3}) : une transformation en continu

Soit (T: mathbb{R}^4 mapsto mathbb{R}^2) une transformation linéaire définie par [T left [ egin{array}{c} a b c d end{array} ight ] = left [ egin{array}{c} a + d b + c end{array} ight ] mbox{ pour tous } left [ egin {array}{c} a b c d end{array} ight ] in mathbb{R}^4] Prouver que (T) est sur mais pas un à un.

Solution

En utilisant le théorème [thm:matrixonetooneonto], nous pouvons montrer que (T) est sur mais pas un à un de la matrice de (T). Rappelons que pour trouver la matrice (A) de (T), on applique (T) à chacun des vecteurs de base standard (vec{e}_i) de (mathbb{R} ^4). Le résultat est la matrice (2 imes 4) A donnée par [A = left [ egin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end{ array} ight ]] Heureusement, cette matrice est déjà sous forme d'échelon de ligne réduit. Le rang de (A) est (2). Par conséquent, d'après le théorème ci-dessus, (T) est sur mais pas un à un.

Rappelons que si (S) et (T) sont des transformations linéaires, on peut discuter de leur composé noté (S circ T). Ce qui suit examine ce qui se passe si (S) et (T) sont activés.

Exemple (PageIndex{4}): Composite de transformations Onto

Soient (T: mathbb{R}^k mapsto mathbb{R}^n) et (S: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) des transformations linéaires. Si (T) et (S) sont sur, alors (S circ T) est sur.

Solution

Soit (vec{z}in mathbb{R}^m). Comme (S) est sur, il existe un vecteur (vec{y}in mathbb{R}^n) tel que (S(vec{y})=vec{z} ). De plus, puisque (T) est sur, il existe un vecteur (vec{x}in mathbb{R}^k) tel que (T(vec{x})=vec{y }). Ainsi [vec{z} = S(vec{y}) = S(T(vec{x})) = (ST)(vec{x}),] montrant que pour chaque ( vec{z}in mathbb{R}^m) il existe et (vec{x}in mathbb{R}^k) tel que ((ST)(vec{x}) =vec{z}). Par conséquent, (S circ T) est sur.

L'exemple suivant montre le même concept en ce qui concerne les transformations un-à-un.

Exemple (PageIndex{5}): Composite de transformations un à un

Soient (T: mathbb{R}^k mapsto mathbb{R}^n) et (S: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m) des transformations linéaires. Montrer que si (T) et (S) sont un à un, alors (S circ T) est un à un.

Solution

Pour prouver que (S circ T) est un pour un, nous devons montrer que si (S(T (vec{v})) = vec{0}) il s'ensuit que (vec {v} = vec{0}). Supposons que (S(T (vec{v})) = vec{0}). Puisque (S) est un à un, il s'ensuit que (T (vec{v}) = vec{0}). De même, puisque (T) est un à un, il s'ensuit que (vec{v} = vec{0}). Donc (S circ T) est un à un.


Je pense que vous pourrez répondre à cette question si quelqu'un est prêt à expliquer la terminologie :

  • Qu'est-ce que la phrase "Un par un" signifie ".
  • Quelle est la grosse lettre majuscule $P$
  • Qu'est-ce que le mot "sur" signifie ".
  • etc.

Quelle est la grosse lettre majuscule $P$ ?

Réponse : $P$ est l'ensemble de tous les polynômes.

Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Voici quelques exemples de polynômes :

  • $f(x) = 56,4*x^9 16,78*x^4 + x + 99,1$
  • $g(x) = 5*x^3 16,78*x^2 + x + 1,6$
  • $h(x) = pi*x^100$
  • $i(x) = pi$
  • $j(x) = 0$
  • $k(x) = x$

Contrairement à la plupart des mathématiciens, je trouve définition par exemple être très utile.

Un polynôme est une fonction similaire à $5*x^<3>+x+<8>$ (pas de fonctions sinus, juste $x$ élevé à une certaine puissance)

Qu'est-ce que Un par un et Sur signifier?

Supposons que vous ayez une machine.

Il existe un ensemble d'entrées valides pour la machine.

Il existe un ensemble de sorties valides vers la machine.

Supposons que les seules entrées autorisées dans la machine soient $-2$ , $-1$ , $ , 1$ et 2$

Sortez un bout de papier. Faites pivoter le papier sur le côté et tracez une ligne verticale au milieu du papier afin que le papier soit coupé en deux moitiés.

Dessinez chaque entrée de la machine à gauche de la ligne.

Dessinez chaque sortie vers la machine à droite de la ligne.

Une machine d'entrée-sortie est "Un par un" lorsque chaque point de sortie a zéro ou une ligne qui en sort.

Si la machine est $(x^2)$ , notez que les entrées $-2$ et 2$ ont la même sortie 4$ . Ainsi, la machine $(x^2)$ est NE PAS "Un par un."

La formulation "Un par un" vient d'une sorte d'hypothèse implicite selon laquelle chaque point dans les entrées a exactement une ligne qui en sort. Lorsque c'est vrai, chaque point de l'entrée correspond à exactement un point de la sortie. C'est une relation très un à un.

Un exemple de relation un à un serait les couples mariés dans un village, à condition que :

  • chaque mari a au plus une femme.
  • chaque femme a au plus un mari.
  • tout le monde est marié
    • il n'y a pas de célibataires ni de célibataires
    • il n'y a pas d'hommes ni de femmes célibataires

    Que signifie "*Onto" ?

    Le diagramme de points et de lignes est sur si chaque point à droite a au moins une ligne qui en sort.

    Une machine avec des entrées et des sorties est "sur" lorsque, pour toute sortie, il y a au moins une entrée qui produit cette sortie.

    Par exemple, un distributeur automatique de style plus ancien peut correspondre à des combinaisons de chiffres et de lettres (comme 4E) au soda. Supposons qu'il y ait un soda (par exemple Dr. Pepper) de telle sorte qu'il n'y ait pas de code de lettre (ou de bouton) qu'un client puisse entrer pour obtenir cette marque de soda. Ce serait un problème. Personne ne l'achèterait jamais. Le soda resterait à l'intérieur de la machine pendant des années jusqu'à ce qu'ils remplacent la machine par une autre qui a une interface à écran tactile avec des images au lieu de lettres et de chiffres.

    Le dérivé

    Dans vos commentaires, vous avez dit que vous n'aviez pas fait de calcul.

    Donc, vous ne savez probablement pas ce qu'est un dérivé.

    Notez que le dérivé de $x^

    $ est $x^<(p-1)>$

    • Multipliez la nouvelle chose par l'ancien exposant.
    • Soustrayez un de l'ancien exposant pour obtenir le nouvel exposant.

    Par exemple, la dérivée de $2*x^<7>$ est $2*7x^<6>$

    Si vous avez beaucoup de choses additionnées, prenez le dérivé de chaque pièce, puis ajoutez les pièces ensemble.

    Anti-dérivés

    Le anti-dérivé annule la prise de la dérivée.

    Il y a beaucoup de $mathtt$ de $(x^

    )$ .
    Habituellement, $left( dfrac> + c ight)$ est la primitive de $(x^

    )$ ,
    où $c$ est n'importe quel ancien nombre, tel que $25$ ou 31,662$

    L'anti-dérivé est l'opposé du dérivé.

    La seule exception est $p = -1$ . Dans ce cas, $x^p = dfrac<1>$

    Si $p = -1$ , la dérivée de $x^p$ est $log(vert x vert)$

    Rappel : Quelle était votre question de devoirs

    Déterminez si la transformation linéaire $T$ est un à un, sur ou ni l'un ni l'autre.

    $T : P → P$ défini par $T(p) = p′$
    Pour tout polynôme $p$ , $T(p)$ est la dérivée de $p$

    Reformuler votre exercice de devoirs

    La transformation dérivée est "Un par un" si (et seulement si) il n'existe pas deux polynômes différents $p$ et $q$ tels que $p′$ est la dérivée de $p$ et $p^$ est la dérivée de $q$

    La transformation dérivée est-elle "Un par un"?

    Astuce pour "Un par un":
    La dérivée de toute constante (par exemple $1$ , $2$ ou $pi$ ) est zéro.
    Une primitive de $ est n'importe quel ancien nombre constant, tel que $59$

    De plus, on vous demande si, pour tout polynôme $p^$ , existe-t-il au moins un polynôme $p$ tel que la dérivée de $p$ soit $p^$ ? Si c'est le cas, alors la transformation dérivée est "sur"


    Que faut-il faire?

    Heureusement, nous vivons à une époque où une pléthore d'options existent pour faciliter notre jeu aujourd'hui, je vais aborder quelques-uns des avantages et des inconvénients d'une option à laquelle vous n'avez peut-être pas beaucoup réfléchi : jouer avec un MJ et un joueur unique, autrement connu sous le nom de jeu un à un.

    Le jeu en tête-à-tête semble gagner du terrain ces dernières années, avec la récente sortie de Pelgrane Press de Cthulhu Confidentiel, Éditions Sine Nomine Héros écarlates, et Expeditious Retreat Press’s Aventures 1 contre 1 ligne pour le RPG Pathfinder qui me vient à l'esprit.

    Kelly et moi participons régulièrement à des jeux en tête-à-tête (l'esprit des gens de la gouttière, nous parlons ici de dés et de feuilles de personnage), et trouvons que c'est un excellent moyen de passer du temps ensemble, mais il y a quelques pièges à garder à l'esprit aussi.


    Définition (Transformations un-à-un)

    est Un par un si, pour tout vecteur

    Remarque

    Un autre mot pour Un par un est injectif.

    Voici quelques manières équivalentes de dire que

    Voici quelques manières équivalentes de dire que

    possède plus d'un Solution

    Exemple (Fonctions d'une variable)
    Exemple (Une transformation en mot réel : la robotique)
    Théorème (Transformations matricielles un-à-un)

    être la transformation matricielle associée. Les affirmations suivantes sont équivalentes:

    Preuve

    Les déclarations 1, 2 et 3 sont des traductions l'une de l'autre. L'équivalence de 3 et 4 découle de cette observation clé de la section 3.1 : si

    n'a qu'une seule solution, alors

    n'a qu'une seule solution également, ou elle est incohérente. L'équivalence de 4, 5 et 6 est une conséquence de cette note importante de la section 3.2, et l'équivalence de 6 et 7 découle du fait que le rang d'une matrice est égal au nombre de colonnes avec pivots.

    Rappeler que équivalent signifie que, pour une matrice donnée, soit toutes les affirmations sont vraies simultanément, soit elles sont toutes fausses.

    Exemple (Une transformation matricielle qui est un-à-un)
    Exemple (une transformation matricielle qui n'est pas un-à-un)
    Exemple (une transformation matricielle qui n'est pas un-à-un)
    Exemple (une transformation matricielle qui n'est pas un-à-un)

    Les trois exemples précédents peuvent être résumés comme suit. Supposer que

    est une transformation matricielle qui est ne pas Un par un. Par le théorème, il existe une solution non triviale de

    Cela signifie que l'espace nul de

    n'est pas l'espace zéro. Tous les vecteurs dans l'espace nul sont des solutions à

    Si vous calculez un vecteur non nul

    dans l'espace nul (par ligne en réduisant et en trouvant la forme paramétrique de l'ensemble solution de


    1 réponse 1

    Apparemment, une personne ne peut appartenir à plus d'une entreprise. Vous pouvez donc faire de Primary un attribut de Person . Cela réduit la complexité du modèle : vous n'avez besoin que de l'association un-à-plusieurs. Cependant, cela augmente la complexité de la logique métier : (1) Vous devez obtenir le contact principal en

    ce qui n'est pas aussi facile que de lire une propriété de navigation, et (2) vous avez besoin de logique pour vous assurer qu'une seule personne est principale.

    Si vous souhaitez conserver le modèle actuel, vous devez d'abord enregistrer l'entreprise et ses contacts, puis attribuer le contact principal dans une seconde transaction. Lorsque vous le faites en une seule transaction, EF peut définir les deux clés étrangères générées en même temps. Il doit d'abord créer une société pour le FK en personne et Person d'abord pour le FK en société.


    5.5 : Transformations un à un et en sur

    Pour les parents

    Offrir une expérience Internet sûre à nos élèves est une priorité absolue dans Anderson School District Five. Les Chromebooks offrent aux étudiants un accès filtré à une multitude de ressources Internet. La console de gestion des Chromebooks de Google Apps for Education nous permet de gérer les Chromebooks et leurs paramètres à distance. Tous les enseignants d'Anderson School District Five ont accès à Google Classroom qui permet aux enseignants d'accéder facilement aux documents des élèves, ainsi que de surveiller l'activité des élèves dans leur classe, via l'intégration avec des utilitaires tiers.

    La console de gestion nous permet également de filtrer le contenu pour les étudiants qui ramènent des Chromebooks à la maison.

    Veuillez utiliser les liens suivants pour accéder aux ressources qui pourraient vous être utiles :


    5.5 : Transformations un à un et en sur

    Fonctions, mappages, cartes, transformations, opérateurs. Sur, un-à-un, surjectif, injectif, bijectif, identité, produit, fonctions inverses. Groupe de transformations sur un ensemble. Permutation. Groupe symétrique Sn.

    Déf. Régler. Une collection finie ou infinie d'objets complètement arbitraires.

    1) L'ensemble des nombres 1, 2, . , m

    2) L'ensemble des variables indépendantes x1, X2, . , Xm

    3) L'ensemble de tous les points d'un plan

    4) L'ensemble de tous les triangles du plan

    5) L'ensemble de toutes les rivières de Chine.

    Déf. Fonction (ou mapping, map, transformation, opérateur). Supposons qu'à chaque élément d'un ensemble A soit affecté, d'une manière ou d'une autre, un élément unique d'un ensemble B. Nous appelons de telles affectations un fonction (ou mapping, map, transformation, opérateur). Si nous notons f ces affectations, nous écrivons

    qui lit “f est une fonction de A dans B”. L'ensemble A est appelé le domaine de f et B est appelé le co-domaine de f. Si la fonction attribue b ε B à a ε A, nous disons que b est l'image de a. L'image de a est notée f(a), qui se lit “f de a”. On l'appelle la valeur de f à un ou alors l'image d'un sous f . L'élément a est appelé le préimage de b. Si P est un sous-ensemble de A, alors f(P) désigne l'ensemble des images des éléments de P et si Q est un sous-ensemble de B, alors f -1 (Q) désigne l'ensemble des éléments de A qui sont mappés dans Q. On appelle f(P) l'image de P et f -1 (Q) l'image inverse ou préimage de Q.

    Syn. cartographie, carte, transformation, opérateur

    Dans une fonction d'un ensemble A dans un ensemble B, plusieurs éléments de A peuvent tous imager dans le même élément dans B. Dans la figure 1, les éléments a et b imagent tous les deux dans 1. De plus, l'ensemble B entier peut ne pas être couvert. Voir la figure 1.

    Portée d'une fonction. La plage d'une fonction se compose des éléments du co-domaine dans lesquels la fonction est mappée. Le co-domaine se compose de l'ensemble des éléments dans lesquels il est mappé. Dans la figure 1, la gamme se compose des éléments 1, 2, 3 et 5 tandis que le co-domaine se compose de l'ensemble B. La gamme de

    est noté f(A). Notez que f(A) est un sous-ensemble de B.

    Les objets des ensembles A et B peuvent être assez arbitraires. L'ensemble A pourrait représenter des entiers, des nombres réels, des nombres complexes, des vecteurs, des matrices, des fonctions, etc. De même pour l'ensemble B.

    1] L'aire d'un cercle est fonction du rayon le sinus d'un angle est fonction de l'angle le logarithme d'un nombre est fonction du nombre. L'expression y = 3x 2 + 7 définit y en fonction de x où il est précisé que le domaine est (par exemple) l'ensemble des nombres réels.

    2] L'équation matricielle y = Ax où A est une matrice mxn et x et y sont des vecteurs de deux espaces vectoriels différents définit une fonction d'un espace vectoriel dans un autre. Le domaine se compose de l'espace vectoriel V et le co-domaine se compose de l'espace vectoriel W avec x dans V et y dans W. La matrice A représente la fonction qui peut être considérée comme un “opérateur” qui opère sur un vecteur pour en produire un autre .

    est une fonction qui affecte un nombre réel à une fonction réelle f(x) définie sur l'intervalle [0,1].

    En fonction. Une fonction est dite "sur" si chaque élément du co-domaine B est l'image d'un élément du domaine A. Cependant, plusieurs éléments de A peuvent correspondre au même élément de B. Voir Figure 2.

    Syn. fonction surjective, surjection.

    Fonction un à un. Une fonction est dite « un à un » si chaque élément du domaine A correspond à un élément différent du co-domaine B. Différents éléments sont représentés par différents éléments. Aucune image de deux éléments dans le même élément. Cependant, l'ensemble de B peut ne pas être couvert. Voir la figure 3

    Syn. fonction d'injection, injection .

    Fonction bijective. Une fonction à la fois un-à-un et sur.

    Fonctions égales. Si f et g sont des fonctions définies sur le même domaine D et si f(a) = g(a) pour tout a D, alors les fonctions f et g sont égales et on écrit f = g.

    Fonction d'identité. Soit A un ensemble quelconque. Soit la fonction f : A → A définie par la formule f(x) = x, c'est-à-dire que f assigne à chaque élément de A l'élément lui-même. Alors f est appelée la fonction identité ou la transformation identité sur A. C'est la fonction I : A → A qui laisse tout point de A fixe.

    Fonction constante. Une fonction f de A dans B est appelée fonction constante si le même élément b B est affecté à chaque élément de A. En d'autres termes, f : A → B est une fonction constante si la plage de f se compose d'un seul élément. Voir la figure 4.

    Exemple . Soit f : R → R défini par la formule f(x) = 3. Alors f est une fonction constante puisque 3 est affecté à chaque élément du domaine R.

    Fonction produit. Soit f une fonction de A dans B et g une fonction de B, le co-domaine de f, dans C. Voir Figure 5. Soit a un élément de A. Alors son image f(a) est dans B qui est le domaine de g. Par conséquent, nous pouvons trouver l'image de f(a) sous l'application g, c'est-à-dire que nous pouvons trouver g(f(a)). On a donc une règle qui affecte à chaque élément a A un élément correspondant g(f(a)) C. En d'autres termes, on a une fonction de A dans C. Cette nouvelle fonction est appelée fonction de produit ou fonction de composition de f et g et est noté

    Plus brièvement, si f : A→ B et g : B → C alors on définit une fonction (g f) : A → C par

    Ici, ≡ est utilisé pour signifier égal par définition.

    Associativité des produits de fonctions . Soit f : A → B, g : B → C et h : C → D.

    Ensuite, comme illustré sur la figure 6, on peut former la fonction produit gf : A → C puis la fonction h (gf) : A → D.

    De même, comme illustré sur la figure 7, on peut former la fonction produit hg : B → D puis la fonction (hg)f : A → D.

    Les deux (h(gf) et (hg)f sont des fonctions de A dans D. Un théorème de base sur les fonctions déclare que ces fonctions sont égales.

     f : A → B, g : B → C et h : C → D. Puis

    Ainsi, la multiplication des fonctions obéit à la loi associative de la multiplication. En conséquence de ce théorème, nous pouvons écrire

    Déf. Fonction inverse . La fonction qui annule exactement l'effet d'une fonction donnée. Soit f une fonction de A dans B et g une fonction de B dans A. Alors g est l'inverse de f si gf = I où I est la fonction identité. Ainsi g annule l'effet de f, laissant l'ensemble A inchangé. On note l'inverse d'une fonction f par f -1 . Ainsi, si la fonction f possède un inverse f -1 , alors f -1 f = I.

    Existence de fonctions inverses . Une fonction f peut avoir ou non un inverse. Nous avons vu qu'une fonction peut affecter la même image dans B à plusieurs éléments de A. Voir la figure 1 ci-dessus. Une fonction qui fait cela ne peut pas avoir d'inverse. Il n'y a pas de fonction qui "annulera" ce type de mappage. Par définition, les fonctions sont à valeur unique. Pour qu'une fonction inverse existe pour une fonction donnée f, le mappage doit être biunivoque. De plus, un mappage peut ne pas couvrir l'intégralité du co-domaine. Cela pose un problème supplémentaire.

    Mappages d'un ensemble en lui-même. Soit G représenter une application (ou transformation) d'un ensemble S en lui-même. Chaque élément a ∈ S est mappé dans un élément b ∈ S. Plusieurs éléments de S peuvent être mappés dans le même élément de S et, de plus, chaque élément de S n'a pas besoin d'être l'image d'un élément de S. On peut voir que G n'est pas nécessairement ni sur ni un-à-un.

    Des exemples de ce type de cartographie sont courants en mathématiques. Des fonctions telles que y = 5x 3 et y = sin x représentent les mappages de l'ensemble des nombres réels dans l'ensemble des nombres réels.

    Soit J(S) représentant l'ensemble de toutes les applications possibles de G sur l'ensemble fini S = <>1, une2, . , unem). Alors J(S) contient n n éléments puisque chaque élément aje ∈ S peut être mappé sur l'un des n éléments a1, une2, . , unem.

    Chaque application G d'un ensemble fini S peut être donnée au moyen d'un tableau composé de deux lignes avec la ligne supérieure constituée des noms des éléments de S dans un ordre arbitraire et la deuxième ligne constituée des images des éléments au-dessus d'eux . Par exemple

    désigne la transformation de l'ensemble des nombres 1, 2, 3, 4 dans lequel les nombres 1, 2, 3, 4 se superposent aux nombres 2, 4, 1, 3, respectivement. L'ordre des éléments de la rangée du haut n'a cependant pas d'importance et

    Transformations un à un. Soit Gʹ un mappage à la fois sur et un-à-un. Soit O(S) représentant l'ensemble de toutes les applications possibles de Gʹ sur l'ensemble S = <>1, une2, . , unem). Alors O(S) est un sous-ensemble de J(S) .

    Théorème 1. O(S) est fermé par rapport à la multiplication de transformation.

    Théorème 2. Pour une transformation T ∈ O(S) ,

    où I est la transformation identitaire.

    Considérons maintenant un concept important, le concept de groupe de transformations. Le terme “transformation” signifie la même chose que fonction. Les termes sont utilisés de manière interchangeable.

    Déf. Groupe de transformations sur un ensemble S . Tout ensemble G de transformations un à un (c'est-à-dire de fonctions) d'un ensemble S sur lui-même qui remplit les conditions axiomatiques pour être un groupe, c'est-à-dire

    1) Fermeture (si les transformations f et g sont dans G, leur produit fg l'est aussi)

    2) La loi associative est vérifiée, c'est-à-dire f(gh) = (fg)h

    3) Existence d'un élément identitaire

    4) Existence d'inverses i.e. si la transformation f est dans G, son inverse f -1 l'est aussi

    Notez que le groupe G peut être soit un groupe fini, soit un groupe infini. Aucune stipulation à ce sujet n'est faite.

    Considérons maintenant l'ensemble important suivant : l'ensemble de toutes les permutations possibles d'un ensemble S de n objets sur lui-même. Il répond à toutes les exigences axiomatiques d'un groupe.

    Déf. Permutation. Une opération qui remplace un ensemble de n objets par un de ses n ! permutations.

    Déf. Groupe symétrique Sm sur n lettres. Le groupe de toutes les permutations possibles sur n objets.

       Lipschutz. Théorie des ensembles. Type. 4

       Lipchutz. Algèbre linéaire. p. 121

       James et James. Dictionnaire de Mathématiques

       Birkhoff, MacLane. Une enquête sur l'algèbre moderne. p. 119 - 123


    Contenu

    Pour un jumelage entre X et Oui (où Oui ne doit pas être différent de X) pour être une bijection, quatre propriétés doivent être vérifiées :

    1. chaque élément de X doit être associé à au moins un élément de Oui,
    2. aucun élément de X peut être associé à plus d'un élément de Oui,
    3. chaque élément de Oui doit être associé à au moins un élément de X, et
    4. aucun élément de Oui peut être associé à plus d'un élément de X.

    La satisfaction des propriétés (1) et (2) signifie qu'un appariement est une fonction avec domaine X. Il est plus courant de voir les propriétés (1) et (2) écrites comme une seule déclaration : Chaque élément de X est associé à exactement un élément de Oui. Les fonctions qui satisfont à la propriété (3) sont dites "sur Oui " et sont appelés surjections (ou fonctions surjectives). Les fonctions qui satisfont à la propriété (4) sont dites "fonctions un-à-un" et sont appelées injections (ou fonctions injectives). [3] With this terminology, a bijection is a function which is both a surjection and an injection, or using other words, a bijection is a function which is both "one-to-one" and "onto". [1] [4]

    Batting line-up of a baseball or cricket team Edit

    Consider the batting line-up of a baseball or cricket team (or any list of all the players of any sports team where every player holds a specific spot in a line-up). The set X will be the players on the team (of size nine in the case of baseball) and the set Y will be the positions in the batting order (1st, 2nd, 3rd, etc.) The "pairing" is given by which player is in what position in this order. Property (1) is satisfied since each player is somewhere in the list. Property (2) is satisfied since no player bats in two (or more) positions in the order. Property (3) says that for each position in the order, there is some player batting in that position and property (4) states that two or more players are never batting in the same position in the list.

    Seats and students of a classroom Edit

    In a classroom there are a certain number of seats. A bunch of students enter the room and the instructor asks them to be seated. After a quick look around the room, the instructor declares that there is a bijection between the set of students and the set of seats, where each student is paired with the seat they are sitting in. What the instructor observed in order to reach this conclusion was that:

    1. Every student was in a seat (there was no one standing),
    2. No student was in more than one seat,
    3. Every seat had someone sitting there (there were no empty seats), and
    4. No seat had more than one student in it.

    The instructor was able to conclude that there were just as many seats as there were students, without having to count either set.

    • For any set X, the identity function1X: XX, 1X(X) = X is bijective.
    • La fonction F: RR, F(X) = 2X + 1 is bijective, since for each oui there is a unique X = (oui − 1)/2 such that F(X) = oui. More generally, any linear function over the reals, F: RR, F(X) = hache + b (where une is non-zero) is a bijection. Each real number oui is obtained from (or paired with) the real number X = (ouib)/une.
    • La fonction F: R → (−π/2, π/2), given by F(X) = arctan(X) is bijective, since each real number X is paired with exactly one angle oui in the interval (−π/2, π/2) so that tan(oui) = X (that is, oui = arctan(X)). If the codomain (−π/2, π/2) was made larger to include an integer multiple of π/2, then this function would no longer be onto (surjective), since there is no real number which could be paired with the multiple of π/2 by this arctan function.
    • The exponential function, g: RR, g(X) = e X , is not bijective: for instance, there is no X dans R tel que g(X) = −1, showing that g is not onto (surjective). However, if the codomain is restricted to the positive real numbers R + ≡ ( 0 , + ∞ ) ^<+>equiv left(0,,+infty ight)> , then g would be bijective its inverse (see below) is the natural logarithm function ln.
    • La fonction h: RR + , h(X) = X 2 is not bijective: for instance, h(−1) = h(1) = 1, showing that h is not one-to-one (injective). However, if the domain is restricted to R 0 + ≡ [ 0 , + ∞ ) _<0>^<+>equiv left[0,,+infty ight)> , then h would be bijective its inverse is the positive square root function.
    • By Cantor-Bernstein-Schroder theorem, given any two sets X et Y, and two injective functions F: X → Y et g: Y → X, there exists a bijective function h: X → Y.

    A bijection F with domain X (indicated by F: X → Y in functional notation) also defines a converse relation starting in Y and going to X (by turning the arrows around). The process of "turning the arrows around" for an arbitrary function does not, in general, yield a function, but properties (3) and (4) of a bijection say that this inverse relation is a function with domain Y. Moreover, properties (1) and (2) then say that this inverse une fonction is a surjection and an injection, that is, the inverse function exists and is also a bijection. Functions that have inverse functions are said to be invertible. A function is invertible if and only if it is a bijection.

    Stated in concise mathematical notation, a function F: X → Y is bijective if and only if it satisfies the condition

    for every oui dans Y there is a unique X dans X with oui = F(X).

    Continuing with the baseball batting line-up example, the function that is being defined takes as input the name of one of the players and outputs the position of that player in the batting order. Since this function is a bijection, it has an inverse function which takes as input a position in the batting order and outputs the player who will be batting in that position.


    5.5: One-to-One and Onto Transformations

    5 Now when Jesus saw the crowds, he went up on a mountainside and sat down. His disciples came to him, 2 and he began to teach them.

    The Beatitudes (A)

    3 “Blessed are the poor in spirit,
    for theirs is the kingdom of heaven. (B)
    4 Blessed are those who mourn,
    for they will be comforted. (C)
    5 Blessed are the meek,
    for they will inherit the earth. (D)
    6 Blessed are those who hunger and thirst for righteousness,
    for they will be filled. (E)
    7 Blessed are the merciful,
    for they will be shown mercy. (F)
    8 Blessed are the pure in heart, (G)
    for they will see God. (H)
    9 Blessed are the peacemakers, (I)
    for they will be called children of God. (J)
    10 Blessed are those who are persecuted because of righteousness, (K)
    for theirs is the kingdom of heaven. (L)

    11 “Blessed are you when people insult you, (M) persecute you and falsely say all kinds of evil against you because of me. (N) 12 Rejoice and be glad, (O) because great is your reward in heaven, for in the same way they persecuted the prophets who were before you. (P)

    Salt and Light

    13 “You are the salt of the earth. But if the salt loses its saltiness, how can it be made salty again? It is no longer good for anything, except to be thrown out and trampled underfoot. (Q)

    14 “You are the light of the world. (R) A town built on a hill cannot be hidden. 15 Neither do people light a lamp and put it under a bowl. Instead they put it on its stand, and it gives light to everyone in the house. (S) 16 In the same way, let your light shine before others, (T) that they may see your good deeds (U) and glorify (V) your Father in heaven.

    The Fulfillment of the Law

    17 “Do not think that I have come to abolish the Law or the Prophets I have not come to abolish them but to fulfill them. (W) 18 For truly I tell you, until heaven and earth disappear, not the smallest letter, not the least stroke of a pen, will by any means disappear from the Law until everything is accomplished. (X) 19 Therefore anyone who sets aside one of the least of these commands (Y) and teaches others accordingly will be called least in the kingdom of heaven, but whoever practices and teaches these commands will be called great in the kingdom of heaven. 20 For I tell you that unless your righteousness surpasses that of the Pharisees and the teachers of the law, you will certainly not enter the kingdom of heaven. (Z)

    Murder (AA)

    21 “You have heard that it was said to the people long ago, ‘You shall not murder, [a] (AB) and anyone who murders will be subject to judgment.’ 22 But I tell you that anyone who is angry (AC) with a brother or sister [b] [c] will be subject to judgment. (AD) Again, anyone who says to a brother or sister, ‘Raca,’ [d] is answerable to the court. (AE) And anyone who says, ‘You fool!’ will be in danger of the fire of hell. (AF)

    23 “Therefore, if you are offering your gift at the altar and there remember that your brother or sister has something against you, 24 leave your gift there in front of the altar. First go and be reconciled to them then come and offer your gift.

    25 “Settle matters quickly with your adversary who is taking you to court. Do it while you are still together on the way, or your adversary may hand you over to the judge, and the judge may hand you over to the officer, and you may be thrown into prison. 26 Truly I tell you, you will not get out until you have paid the last penny.

    Adultery

    27 “You have heard that it was said, ‘You shall not commit adultery.’ [e] (AG) 28 But I tell you that anyone who looks at a woman lustfully has already committed adultery with her in his heart. (AH) 29 If your right eye causes you to stumble, (AI) gouge it out and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to be thrown into hell. 30 And if your right hand causes you to stumble, (AJ) cut it off and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to go into hell.

    Divorce

    31 “It has been said, ‘Anyone who divorces his wife must give her a certificate of divorce.’ [f] (AK) 32 But I tell you that anyone who divorces his wife, except for sexual immorality, makes her the victim of adultery, and anyone who marries a divorced woman commits adultery. (AL)

    Oaths

    33 “Again, you have heard that it was said to the people long ago, ‘Do not break your oath, (AM) but fulfill to the Lord the vows you have made.’ (AN) 34 But I tell you, do not swear an oath at all: (AO) either by heaven, for it is God’s throne (AP) 35 or by the earth, for it is his footstool or by Jerusalem, for it is the city of the Great King. (AQ) 36 And do not swear by your head, for you cannot make even one hair white or black. 37 All you need to say is simply ‘Yes’ or ‘No’ (AR) anything beyond this comes from the evil one. [g] (AS)

    Eye for Eye

    38 “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ [h] (AT) 39 But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also. (AU) 40 And if anyone wants to sue you and take your shirt, hand over your coat as well. 41 If anyone forces you to go one mile, go with them two miles. 42 Give to the one who asks you, and do not turn away from the one who wants to borrow from you. (AV)

    Love for Enemies

    43 “You have heard that it was said, ‘Love your neighbor [i] (AW) and hate your enemy.’ (AX) 44 But I tell you, love your enemies and pray for those who persecute you, (AY) 45 that you may be children (AZ) of your Father in heaven. He causes his sun to rise on the evil and the good, and sends rain on the righteous and the unrighteous. (BA) 46 If you love those who love you, what reward will you get? (BB) Are not even the tax collectors doing that? 47 And if you greet only your own people, what are you doing more than others? Do not even pagans do that? 48 Be perfect, therefore, as your heavenly Father is perfect. (BC)


    Section 3.6 The Invertible Matrix Theorem ¶ permalink

    This section consists of a single important theorem containing many equivalent conditions for a matrix to be invertible. This is one of the most important theorems in this textbook. We will append two more criteria in Section 5.1.

    Invertible Matrix Theorem

    be the matrix transformation

    The following statements are equivalent:

    has a unique solution for each

    Preuve

    pivots if and only if its reduced row echelon form is the identity matrix

    This happens exactly when the procedure in Section 3.5 to compute the inverse succeeds.

    The null space of a matrix is

    if and only if the matrix has no free variables, which means that every column is a pivot column, which means

    These follow from this recipe in Section 2.5 and this theorem in Section 2.3, respectively, since

    pivots if and only if has a pivot in every row/column.

    has at least one solution for every

    if and only if the columns of

    has at most one solution for every

    if and only if the columns of

    are linearly independent by this theorem in Section 3.2. Hence

    has exactly one solution for every

    if and only if its columns are linearly independent and span

    This is the content of this theorem in Section 3.5.

    To reiterate, the invertible matrix theorem means:

    There are two kinds of square matrices:

    For invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are true.

    For non-invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are false.

    The reader should be comfortable translating any of the statements in the invertible matrix theorem into a statement about the pivots of a matrix.

    Other Conditions for Invertibility

    The following conditions are also equivalent to the invertibility of a square matrix

    They are all simple restatements of conditions in the invertible matrix theorem.


    Voir la vidéo: Exercise Examples Ch-5 Laplace Transform. SF And IT Math For 4th Semester Second Year (Décembre 2021).